Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100214 / 98374
↖ ↑ ↗
← S 66.589766°
E 95.245972°		 ← 121.32 m → S 66.589766°
E 95.248718°		 →
↑
121.30 m
↓
↑
121.30 m
↓
S 66.590857°
E 95.245972°		 ← 121.32 m →
14 717 m²		 S 66.590857°
E 95.248718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764575958251953 y=0.750537872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764575958251953 × 217)
    floor (0.764575958251953 × 131072)
    floor (100214.5)     		tx = 100214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.750537872314453 × 217)
    floor (0.750537872314453 × 131072)
    floor (98374.5)     		ty = 98374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100214 / 98374 ti = "17/100214/98374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100214/98374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100214 ÷ 217
    100214 ÷ 131072     		x = 0.764572143554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98374 ÷ 217
    98374 ÷ 131072     		y = 0.750534057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764572143554688 × 2 - 1) × π
    0.529144287109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66235581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.750534057617188 × 2 - 1) × π
    -0.501068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5741519097234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66235581} λ = 1.66235581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5741519097234))-π/2
    2×atan(0.207183188240641)-π/2
    2×0.204292834320025-π/2
    0.408585668640051-1.57079632675     		φ = -1.16221066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66235581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.245972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16221066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.589766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100214 KachelY 98374 1.66235581 -1.16221066 95.245972 -66.589766
    Oben rechts KachelX + 1 100215 KachelY 98374 1.66240374 -1.16221066 95.248718 -66.589766
    Unten links KachelX 100214 KachelY + 1 98375 1.66235581 -1.16222970 95.245972 -66.590857
    Unten rechts KachelX + 1 100215 KachelY + 1 98375 1.66240374 -1.16222970 95.248718 -66.590857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16221066--1.16222970) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dl = 121.30383999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16221066--1.16222970) × R
    1.90399999999702e-05 × 6371000     		dr = 121.30383999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66235581-1.66240374) × cos(-1.16221066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397311815307357 × 6371000     		do = 121.323942465314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66235581-1.66240374) × cos(-1.16222970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.397294342538231 × 6371000     		du = 121.318606945064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16221066)-sin(-1.16222970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.397311815307357-0.397294342538231)×R²
    abs(1.66240374-1.66235581)×1.7472769126281e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.7472769126281e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.7472769126281e-05×40589641000000     		ar = 14716.7364958513m²