Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100213 / 101944
↖ ↑ ↗
← S 70.192550°
E 95.243225°		 ← 103.50 m → S 70.192550°
E 95.245972°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.193481°
E 95.243225°		 ← 103.49 m →
10 715 m²		 S 70.193481°
E 95.245972°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764568328857422 y=0.777774810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764568328857422 × 217)
    floor (0.764568328857422 × 131072)
    floor (100213.5)     		tx = 100213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777774810791016 × 217)
    floor (0.777774810791016 × 131072)
    floor (101944.5)     		ty = 101944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100213 / 101944 ti = "17/100213/101944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100213/101944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100213 ÷ 217
    100213 ÷ 131072     		x = 0.764564514160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101944 ÷ 217
    101944 ÷ 131072     		y = 0.77777099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764564514160156 × 2 - 1) × π
    0.529129028320312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66230787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77777099609375 × 2 - 1) × π
    -0.5555419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.745286641367
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66230787} λ = 1.66230787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.745286641367))-π/2
    2×atan(0.174594935662449)-π/2
    2×0.172852611578982-π/2
    0.345705223157964-1.57079632675     		φ = -1.22509110
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66230787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.243225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22509110 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.192550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100213 KachelY 101944 1.66230787 -1.22509110 95.243225 -70.192550
    Oben rechts KachelX + 1 100214 KachelY 101944 1.66235581 -1.22509110 95.245972 -70.192550
    Unten links KachelX 100213 KachelY + 1 101945 1.66230787 -1.22510735 95.243225 -70.193481
    Unten rechts KachelX + 1 100214 KachelY + 1 101945 1.66235581 -1.22510735 95.245972 -70.193481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22509110--1.22510735) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22509110--1.22510735) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66230787-1.66235581) × cos(-1.22509110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338860264717795 × 6371000     		do = 103.496647107961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66230787-1.66235581) × cos(-1.22510735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338844976076465 × 6371000     		du = 103.491977563369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22509110)-sin(-1.22510735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338860264717795-0.338844976076465)×R²
    abs(1.66235581-1.66230787)×1.52886413298248e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52886413298248e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52886413298248e-05×40589641000000     		ar = 10714.6367886517m²