Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100212 / 97411
↖ ↑ ↗
← S 65.516377°
E 95.240478°		 ← 126.58 m → S 65.516377°
E 95.243225°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.517516°
E 95.240478°		 ← 126.57 m →
16 023 m²		 S 65.517516°
E 95.243225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764560699462891 y=0.743190765380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764560699462891 × 217)
    floor (0.764560699462891 × 131072)
    floor (100212.5)     		tx = 100212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743190765380859 × 217)
    floor (0.743190765380859 × 131072)
    floor (97411.5)     		ty = 97411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100212 / 97411 ti = "17/100212/97411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100212/97411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100212 ÷ 217
    100212 ÷ 131072     		x = 0.764556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97411 ÷ 217
    97411 ÷ 131072     		y = 0.743186950683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764556884765625 × 2 - 1) × π
    0.52911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66225993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743186950683594 × 2 - 1) × π
    -0.486373901367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52798867538929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66225993} λ = 1.66225993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52798867538929))-π/2
    2×atan(0.216971629116154)-π/2
    2×0.213659911852678-π/2
    0.427319823705355-1.57079632675     		φ = -1.14347650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66225993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.240478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14347650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.516377°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100212 KachelY 97411 1.66225993 -1.14347650 95.240478 -65.516377
    Oben rechts KachelX + 1 100213 KachelY 97411 1.66230787 -1.14347650 95.243225 -65.516377
    Unten links KachelX 100212 KachelY + 1 97412 1.66225993 -1.14349637 95.240478 -65.517516
    Unten rechts KachelX + 1 100213 KachelY + 1 97412 1.66230787 -1.14349637 95.243225 -65.517516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14347650--1.14349637) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14347650--1.14349637) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66225993-1.66230787) × cos(-1.14347650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414433122440185 × 6371000     		do = 126.578543101721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66225993-1.66230787) × cos(-1.14349637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414415039073352 × 6371000     		du = 126.573019976024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14347650)-sin(-1.14349637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414433122440185-0.414415039073352)×R²
    abs(1.66230787-1.66225993)×1.8083366833288e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8083366833288e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8083366833288e-05×40589641000000     		ar = 16023.4522246777m²