Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100212 / 96797
↖ ↑ ↗
← S 64.808050°
E 95.240478°		 ← 130.01 m → S 64.808050°
E 95.243225°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.809219°
E 95.240478°		 ← 130 m →
16 896 m²		 S 64.809219°
E 95.243225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764560699462891 y=0.738506317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764560699462891 × 217)
    floor (0.764560699462891 × 131072)
    floor (100212.5)     		tx = 100212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738506317138672 × 217)
    floor (0.738506317138672 × 131072)
    floor (96797.5)     		ty = 96797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100212 / 96797 ti = "17/100212/96797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100212/96797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100212 ÷ 217
    100212 ÷ 131072     		x = 0.764556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96797 ÷ 217
    96797 ÷ 131072     		y = 0.738502502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764556884765625 × 2 - 1) × π
    0.52911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66225993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738502502441406 × 2 - 1) × π
    -0.477005004882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.49855541902258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66225993} λ = 1.66225993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49855541902258))-π/2
    2×atan(0.223452722661011)-π/2
    2×0.219841234401663-π/2
    0.439682468803325-1.57079632675     		φ = -1.13111386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66225993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.240478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13111386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.808050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100212 KachelY 96797 1.66225993 -1.13111386 95.240478 -64.808050
    Oben rechts KachelX + 1 100213 KachelY 96797 1.66230787 -1.13111386 95.243225 -64.808050
    Unten links KachelX 100212 KachelY + 1 96798 1.66225993 -1.13113426 95.240478 -64.809219
    Unten rechts KachelX + 1 100213 KachelY + 1 96798 1.66230787 -1.13113426 95.243225 -64.809219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13111386--1.13113426) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dl = 129.968400000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13111386--1.13113426) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dr = 129.968400000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66225993-1.66230787) × cos(-1.13111386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425652154902212 × 6371000     		do = 130.005124393517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66225993-1.66230787) × cos(-1.13113426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425633695121546 × 6371000     		du = 129.999486301347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13111386)-sin(-1.13113426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425652154902212-0.425633695121546)×R²
    abs(1.66230787-1.66225993)×1.8459780666169e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.8459780666169e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.8459780666169e-05×40589641000000     		ar = 16896.1916232167m²