Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100212 / 101946
↖ ↑ ↗
← S 70.194411°
E 95.240478°		 ← 103.49 m → S 70.194411°
E 95.243225°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.195342°
E 95.240478°		 ← 103.48 m →
10 707 m²		 S 70.195342°
E 95.243225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764560699462891 y=0.777790069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764560699462891 × 217)
    floor (0.764560699462891 × 131072)
    floor (100212.5)     		tx = 100212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777790069580078 × 217)
    floor (0.777790069580078 × 131072)
    floor (101946.5)     		ty = 101946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100212 / 101946 ti = "17/100212/101946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100212/101946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100212 ÷ 217
    100212 ÷ 131072     		x = 0.764556884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101946 ÷ 217
    101946 ÷ 131072     		y = 0.777786254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764556884765625 × 2 - 1) × π
    0.52911376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66225993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.555572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74538251516624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66225993} λ = 1.66225993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74538251516624))-π/2
    2×atan(0.174578197385033)-π/2
    2×0.172836368401245-π/2
    0.34567273680249-1.57079632675     		φ = -1.22512359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66225993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.240478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22512359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.194411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100212 KachelY 101946 1.66225993 -1.22512359 95.240478 -70.194411
    Oben rechts KachelX + 1 100213 KachelY 101946 1.66230787 -1.22512359 95.243225 -70.194411
    Unten links KachelX 100212 KachelY + 1 101947 1.66225993 -1.22513983 95.240478 -70.195342
    Unten rechts KachelX + 1 100213 KachelY + 1 101947 1.66230787 -1.22513983 95.243225 -70.195342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22512359--1.22513983) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22512359--1.22513983) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66225993-1.66230787) × cos(-1.22512359) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338829696754137 × 6371000     		do = 103.48731086504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66225993-1.66230787) × cos(-1.22513983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338814417342446 × 6371000     		du = 103.482644139417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22512359)-sin(-1.22513983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338829696754137-0.338814417342446)×R²
    abs(1.66230787-1.66225993)×1.52794116909938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52794116909938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52794116909938e-05×40589641000000     		ar = 10707.077336905m²