Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100211 / 101943
↖ ↑ ↗
← S 70.191619°
E 95.237732°		 ← 103.50 m → S 70.191619°
E 95.240478°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.192550°
E 95.237732°		 ← 103.50 m →
10 709 m²		 S 70.192550°
E 95.240478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764553070068359 y=0.777767181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764553070068359 × 217)
    floor (0.764553070068359 × 131072)
    floor (100211.5)     		tx = 100211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777767181396484 × 217)
    floor (0.777767181396484 × 131072)
    floor (101943.5)     		ty = 101943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100211 / 101943 ti = "17/100211/101943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100211/101943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100211 ÷ 217
    100211 ÷ 131072     		x = 0.764549255371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101943 ÷ 217
    101943 ÷ 131072     		y = 0.777763366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764549255371094 × 2 - 1) × π
    0.529098510742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66221199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777763366699219 × 2 - 1) × π
    -0.555526733398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74523870446738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66221199} λ = 1.66221199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74523870446738))-π/2
    2×atan(0.174603305402963)-π/2
    2×0.172860733717303-π/2
    0.345721467434606-1.57079632675     		φ = -1.22507486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66221199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.237732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22507486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.191619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100211 KachelY 101943 1.66221199 -1.22507486 95.237732 -70.191619
    Oben rechts KachelX + 1 100212 KachelY 101943 1.66225993 -1.22507486 95.240478 -70.191619
    Unten links KachelX 100211 KachelY + 1 101944 1.66221199 -1.22509110 95.237732 -70.192550
    Unten rechts KachelX + 1 100212 KachelY + 1 101944 1.66225993 -1.22509110 95.240478 -70.192550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22507486--1.22509110) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22507486--1.22509110) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66221199-1.66225993) × cos(-1.22507486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338875543861333 × 6371000     		do = 103.501313751682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66221199-1.66225993) × cos(-1.22509110) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338860264717795 × 6371000     		du = 103.496647107961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22507486)-sin(-1.22509110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338875543861333-0.338860264717795)×R²
    abs(1.66225993-1.66221199)×1.52791435372723e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52791435372723e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52791435372723e-05×40589641000000     		ar = 10708.5261501404m²