Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100210 / 101904
↖ ↑ ↗
← S 70.155288°
E 95.234985°		 ← 103.66 m → S 70.155288°
E 95.237732°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.156220°
E 95.234985°		 ← 103.66 m →
10 745 m²		 S 70.156220°
E 95.237732°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764545440673828 y=0.777469635009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764545440673828 × 217)
    floor (0.764545440673828 × 131072)
    floor (100210.5)     		tx = 100210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777469635009766 × 217)
    floor (0.777469635009766 × 131072)
    floor (101904.5)     		ty = 101904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100210 / 101904 ti = "17/100210/101904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100210/101904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100210 ÷ 217
    100210 ÷ 131072     		x = 0.764541625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101904 ÷ 217
    101904 ÷ 131072     		y = 0.7774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764541625976562 × 2 - 1) × π
    0.529083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66216406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7433691653822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66216406} λ = 1.66216406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7433691653822))-π/2
    2×atan(0.174930038431733)-π/2
    2×0.173177782984299-π/2
    0.346355565968599-1.57079632675     		φ = -1.22444076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66216406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.234985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22444076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.155288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100210 KachelY 101904 1.66216406 -1.22444076 95.234985 -70.155288
    Oben rechts KachelX + 1 100211 KachelY 101904 1.66221199 -1.22444076 95.237732 -70.155288
    Unten links KachelX 100210 KachelY + 1 101905 1.66216406 -1.22445703 95.234985 -70.156220
    Unten rechts KachelX + 1 100211 KachelY + 1 101905 1.66221199 -1.22445703 95.237732 -70.156220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22444076--1.22445703) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22444076--1.22445703) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66216406-1.66221199) × cos(-1.22444076) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339472056763622 × 6371000     		do = 103.661876381678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66216406-1.66221199) × cos(-1.22445703) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339456752894095 × 6371000     		du = 103.657203161013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22444076)-sin(-1.22445703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339472056763622-0.339456752894095)×R²
    abs(1.66221199-1.66216406)×1.53038695270835e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53038695270835e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53038695270835e-05×40589641000000     		ar = 10744.9508770492m²