Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10021 / 2362
↖ ↑ ↗
← N 77.795484°
E 40.187989°		 ← 516.50 m → N 77.795484°
E 40.209961°		 →
↑
516.62 m
↓
↑
516.62 m
↓
N 77.790838°
E 40.187989°		 ← 516.69 m →
266 887 m²		 N 77.790838°
E 40.209961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611663818359375 y=0.144195556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611663818359375 × 214)
    floor (0.611663818359375 × 16384)
    floor (10021.5)     		tx = 10021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144195556640625 × 214)
    floor (0.144195556640625 × 16384)
    floor (2362.5)     		ty = 2362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10021 / 2362 ti = "14/10021/2362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10021/2362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10021 ÷ 214
    10021 ÷ 16384     		x = 0.61163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2362 ÷ 214
    2362 ÷ 16384     		y = 0.1441650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61163330078125 × 2 - 1) × π
    0.2232666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.70141272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1441650390625 × 2 - 1) × π
    0.711669921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23577699827942
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70141272} λ = 0.70141272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23577699827942))-π/2
    2×atan(9.35374687460386)-π/2
    2×1.46429183378734-π/2
    2.92858366757467-1.57079632675     		φ = 1.35778734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70141272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.187989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35778734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.795484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10021 KachelY 2362 0.70141272 1.35778734 40.187989 77.795484
    Oben rechts KachelX + 1 10022 KachelY 2362 0.70179621 1.35778734 40.209961 77.795484
    Unten links KachelX 10021 KachelY + 1 2363 0.70141272 1.35770625 40.187989 77.790838
    Unten rechts KachelX + 1 10022 KachelY + 1 2363 0.70179621 1.35770625 40.209961 77.790838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35778734-1.35770625) × R
    8.10900000001169e-05 × 6371000     		dl = 516.624390000745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35778734-1.35770625) × R
    8.10900000001169e-05 × 6371000     		dr = 516.624390000745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70141272-0.70179621) × cos(1.35778734) × R
    0.000383490000000042 × 0.211401833815283 × 6371000     		do = 516.500087010678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70141272-0.70179621) × cos(1.35770625) × R
    0.000383490000000042 × 0.21148109042412 × 6371000     		du = 516.693727929594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35778734)-sin(1.35770625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211401833815283-0.21148109042412)×R²
    abs(0.70179621-0.70141272)×7.92566088370639e-05×R²
    0.000383490000000042×7.92566088370639e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.92566088370639e-05×40589641000000     		ar = 266886.562344016m²