Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10021 / 18341
↖ ↑ ↗
← N 61.843191°
W124.953003°		 ← 288.22 m → N 61.843191°
W124.947510°		 →
↑
288.22 m
↓
↑
288.22 m
↓
N 61.840599°
W124.953003°		 ← 288.25 m →
83 076 m²		 N 61.840599°
W124.947510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152915954589844 y=0.279869079589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152915954589844 × 216)
    floor (0.152915954589844 × 65536)
    floor (10021.5)     		tx = 10021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279869079589844 × 216)
    floor (0.279869079589844 × 65536)
    floor (18341.5)     		ty = 18341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10021 / 18341 ti = "16/10021/18341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10021/18341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10021 ÷ 216
    10021 ÷ 65536     		x = 0.152908325195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18341 ÷ 216
    18341 ÷ 65536     		y = 0.279861450195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.152908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.694183349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18084131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279861450195312 × 2 - 1) × π
    0.440277099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3831713016371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18084131} λ = -2.18084131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3831713016371))-π/2
    2×atan(3.98752724877858)-π/2
    2×1.32508181300337-π/2
    2.65016362600674-1.57079632675     		φ = 1.07936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18084131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.953003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.843191°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10021 KachelY 18341 -2.18084131 1.07936730 -124.953003 61.843191
    Oben rechts KachelX + 1 10022 KachelY 18341 -2.18074544 1.07936730 -124.947510 61.843191
    Unten links KachelX 10021 KachelY + 1 18342 -2.18084131 1.07932206 -124.953003 61.840599
    Unten rechts KachelX + 1 10022 KachelY + 1 18342 -2.18074544 1.07932206 -124.947510 61.840599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07936730-1.07932206) × R
    4.52399999999464e-05 × 6371000     		dl = 288.224039999659m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07936730-1.07932206) × R
    4.52399999999464e-05 × 6371000     		dr = 288.224039999659m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18084131--2.18074544) × cos(1.07936730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471886284502368 × 6371000     		do = 288.222371404781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18084131--2.18074544) × cos(1.07932206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.471926170291662 × 6371000     		du = 288.246733157078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07936730)-sin(1.07932206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471886284502368-0.471926170291662)×R²
    abs(-2.18074544--2.18084131)×3.98857892939808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.98857892939808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.98857892939808e-05×40589641000000     		ar = 83076.1271402387m²