Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100209 / 99922
↖ ↑ ↗
← S 68.222561°
E 95.232239°		 ← 113.31 m → S 68.222561°
E 95.234985°		 →
↑
113.28 m
↓
↑
113.28 m
↓
S 68.223580°
E 95.232239°		 ← 113.31 m →
12 835 m²		 S 68.223580°
E 95.234985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764537811279297 y=0.762348175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764537811279297 × 217)
    floor (0.764537811279297 × 131072)
    floor (100209.5)     		tx = 100209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762348175048828 × 217)
    floor (0.762348175048828 × 131072)
    floor (99922.5)     		ty = 99922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100209 / 99922 ti = "17/100209/99922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100209/99922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100209 ÷ 217
    100209 ÷ 131072     		x = 0.764533996582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99922 ÷ 217
    99922 ÷ 131072     		y = 0.762344360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764533996582031 × 2 - 1) × π
    0.529067993164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66211612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762344360351562 × 2 - 1) × π
    -0.524688720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64835823033525
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66211612} λ = 1.66211612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64835823033525))-π/2
    2×atan(0.192365469302943)-π/2
    2×0.190044003796414-π/2
    0.380088007592828-1.57079632675     		φ = -1.19070832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66211612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.232239°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19070832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.222561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100209 KachelY 99922 1.66211612 -1.19070832 95.232239 -68.222561
    Oben rechts KachelX + 1 100210 KachelY 99922 1.66216406 -1.19070832 95.234985 -68.222561
    Unten links KachelX 100209 KachelY + 1 99923 1.66211612 -1.19072610 95.232239 -68.223580
    Unten rechts KachelX + 1 100210 KachelY + 1 99923 1.66216406 -1.19072610 95.234985 -68.223580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19070832--1.19072610) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dl = 113.276380000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19070832--1.19072610) × R
    1.77800000000783e-05 × 6371000     		dr = 113.276380000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66211612-1.66216406) × cos(-1.19070832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.371002196774562 × 6371000     		do = 113.313620491422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66211612-1.66216406) × cos(-1.19072610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.370985685639166 × 6371000     		du = 113.308577565675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19070832)-sin(-1.19072610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371002196774562-0.370985685639166)×R²
    abs(1.66216406-1.66211612)×1.65111353961911e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65111353961911e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65111353961911e-05×40589641000000     		ar = 12835.4711121279m²