Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100208 / 96791
↖ ↑ ↗
← S 64.801035°
E 95.229492°		 ← 130.04 m → S 64.801035°
E 95.232239°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.802204°
E 95.229492°		 ← 130.03 m →
16 901 m²		 S 64.802204°
E 95.232239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764530181884766 y=0.738460540771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764530181884766 × 217)
    floor (0.764530181884766 × 131072)
    floor (100208.5)     		tx = 100208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738460540771484 × 217)
    floor (0.738460540771484 × 131072)
    floor (96791.5)     		ty = 96791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100208 / 96791 ti = "17/100208/96791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100208/96791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100208 ÷ 217
    100208 ÷ 131072     		x = 0.7645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96791 ÷ 217
    96791 ÷ 131072     		y = 0.738456726074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    0.529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66206818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738456726074219 × 2 - 1) × π
    -0.476913452148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.49826779762486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66206818} λ = 1.66206818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49826779762486))-π/2
    2×atan(0.223517001688996)-π/2
    2×0.219902455702169-π/2
    0.439804911404338-1.57079632675     		φ = -1.13099142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66206818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13099142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.801035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100208 KachelY 96791 1.66206818 -1.13099142 95.229492 -64.801035
    Oben rechts KachelX + 1 100209 KachelY 96791 1.66211612 -1.13099142 95.232239 -64.801035
    Unten links KachelX 100208 KachelY + 1 96792 1.66206818 -1.13101182 95.229492 -64.802204
    Unten rechts KachelX + 1 100209 KachelY + 1 96792 1.66211612 -1.13101182 95.232239 -64.802204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13099142--1.13101182) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13099142--1.13101182) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66206818-1.66211612) × cos(-1.13099142) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.425762946059402 × 6371000     		do = 130.03896286529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66206818-1.66211612) × cos(-1.13101182) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.425744487342035 × 6371000     		du = 130.033325097879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13099142)-sin(-1.13101182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425762946059402-0.425744487342035)×R²
    abs(1.66211612-1.66206818)×1.84587173668871e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.84587173668871e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.84587173668871e-05×40589641000000     		ar = 16900.5895760381m²