Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100207 / 97455
↖ ↑ ↗
← S 65.566414°
E 95.226746°		 ← 126.31 m → S 65.566414°
E 95.229492°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
S 65.567549°
E 95.226746°		 ← 126.30 m →
15 949 m²		 S 65.567549°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764522552490234 y=0.743526458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764522552490234 × 217)
    floor (0.764522552490234 × 131072)
    floor (100207.5)     		tx = 100207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743526458740234 × 217)
    floor (0.743526458740234 × 131072)
    floor (97455.5)     		ty = 97455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100207 / 97455 ti = "17/100207/97455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100207/97455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100207 ÷ 217
    100207 ÷ 131072     		x = 0.764518737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97455 ÷ 217
    97455 ÷ 131072     		y = 0.743522644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764518737792969 × 2 - 1) × π
    0.529037475585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66202025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743522644042969 × 2 - 1) × π
    -0.487045288085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.53009789897257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66202025} λ = 1.66202025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53009789897257))-π/2
    2×atan(0.216514469734279)-π/2
    2×0.213223265072749-π/2
    0.426446530145498-1.57079632675     		φ = -1.14434980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66202025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.226746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14434980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.566414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100207 KachelY 97455 1.66202025 -1.14434980 95.226746 -65.566414
    Oben rechts KachelX + 1 100208 KachelY 97455 1.66206818 -1.14434980 95.229492 -65.566414
    Unten links KachelX 100207 KachelY + 1 97456 1.66202025 -1.14436962 95.226746 -65.567549
    Unten rechts KachelX + 1 100208 KachelY + 1 97456 1.66206818 -1.14436962 95.229492 -65.567549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14434980--1.14436962) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14434980--1.14436962) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66202025-1.66206818) × cos(-1.14434980) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413638191844122 × 6371000     		do = 126.309397946543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66202025-1.66206818) × cos(-1.14436962) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413620146815381 × 6371000     		du = 126.303887679935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14434980)-sin(-1.14436962))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413638191844122-0.413620146815381)×R²
    abs(1.66206818-1.66202025)×1.80450287406431e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.80450287406431e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.80450287406431e-05×40589641000000     		ar = 15949.1464957867m²