Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100207 / 101901
↖ ↑ ↗
← S 70.152491°
E 95.226746°		 ← 103.68 m → S 70.152491°
E 95.229492°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.153423°
E 95.226746°		 ← 103.67 m →
10 746 m²		 S 70.153423°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764522552490234 y=0.777446746826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764522552490234 × 217)
    floor (0.764522552490234 × 131072)
    floor (100207.5)     		tx = 100207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777446746826172 × 217)
    floor (0.777446746826172 × 131072)
    floor (101901.5)     		ty = 101901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100207 / 101901 ti = "17/100207/101901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100207/101901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100207 ÷ 217
    100207 ÷ 131072     		x = 0.764518737792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101901 ÷ 217
    101901 ÷ 131072     		y = 0.777442932128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764518737792969 × 2 - 1) × π
    0.529037475585938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66202025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777442932128906 × 2 - 1) × π
    -0.554885864257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.74322535468334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66202025} λ = 1.66202025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74322535468334))-π/2
    2×atan(0.174955197051808)-π/2
    2×0.17320219449214-π/2
    0.346404388984281-1.57079632675     		φ = -1.22439194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66202025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.226746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22439194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.152491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100207 KachelY 101901 1.66202025 -1.22439194 95.226746 -70.152491
    Oben rechts KachelX + 1 100208 KachelY 101901 1.66206818 -1.22439194 95.229492 -70.152491
    Unten links KachelX 100207 KachelY + 1 101902 1.66202025 -1.22440821 95.226746 -70.153423
    Unten rechts KachelX + 1 100208 KachelY + 1 101902 1.66206818 -1.22440821 95.229492 -70.153423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22439194--1.22440821) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22439194--1.22440821) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66202025-1.66206818) × cos(-1.22439194) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.339517977239007 × 6371000     		do = 103.67589875078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66202025-1.66206818) × cos(-1.22440821) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.339502673639136 × 6371000     		du = 103.671225612457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22439194)-sin(-1.22440821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339517977239007-0.339502673639136)×R²
    abs(1.66206818-1.66202025)×1.53035998717854e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.53035998717854e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.53035998717854e-05×40589641000000     		ar = 10746.4043860207m²