Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100206 / 97454
↖ ↑ ↗
← S 65.565278°
E 95.223999°		 ← 126.34 m → S 65.565278°
E 95.226746°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.566414°
E 95.223999°		 ← 126.34 m →
15 961 m²		 S 65.566414°
E 95.226746°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764514923095703 y=0.743518829345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764514923095703 × 217)
    floor (0.764514923095703 × 131072)
    floor (100206.5)     		tx = 100206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743518829345703 × 217)
    floor (0.743518829345703 × 131072)
    floor (97454.5)     		ty = 97454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100206 / 97454 ti = "17/100206/97454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100206/97454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100206 ÷ 217
    100206 ÷ 131072     		x = 0.764511108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97454 ÷ 217
    97454 ÷ 131072     		y = 0.743515014648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764511108398438 × 2 - 1) × π
    0.529022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66197231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743515014648438 × 2 - 1) × π
    -0.487030029296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53004996207295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66197231} λ = 1.66197231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53004996207295))-π/2
    2×atan(0.216524849015454)-π/2
    2×0.213233179555413-π/2
    0.426466359110827-1.57079632675     		φ = -1.14432997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66197231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.223999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14432997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.565278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100206 KachelY 97454 1.66197231 -1.14432997 95.223999 -65.565278
    Oben rechts KachelX + 1 100207 KachelY 97454 1.66202025 -1.14432997 95.226746 -65.565278
    Unten links KachelX 100206 KachelY + 1 97455 1.66197231 -1.14434980 95.223999 -65.566414
    Unten rechts KachelX + 1 100207 KachelY + 1 97455 1.66202025 -1.14434980 95.226746 -65.566414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14432997--1.14434980) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14432997--1.14434980) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66197231-1.66202025) × cos(-1.14432997) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413656245814704 × 6371000     		do = 126.34126498408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66197231-1.66202025) × cos(-1.14434980) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413638191844122 × 6371000     		du = 126.335750836755m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14432997)-sin(-1.14434980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413656245814704-0.413638191844122)×R²
    abs(1.66202025-1.66197231)×1.8053970581744e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.8053970581744e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.8053970581744e-05×40589641000000     		ar = 15961.2192308912m²