Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100203 / 97451
↖ ↑ ↗
← S 65.561869°
E 95.215759°		 ← 126.36 m → S 65.561869°
E 95.218506°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.563005°
E 95.215759°		 ← 126.35 m →
15 963 m²		 S 65.563005°
E 95.218506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764492034912109 y=0.743495941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764492034912109 × 217)
    floor (0.764492034912109 × 131072)
    floor (100203.5)     		tx = 100203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743495941162109 × 217)
    floor (0.743495941162109 × 131072)
    floor (97451.5)     		ty = 97451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100203 / 97451 ti = "17/100203/97451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100203/97451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100203 ÷ 217
    100203 ÷ 131072     		x = 0.764488220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97451 ÷ 217
    97451 ÷ 131072     		y = 0.743492126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764488220214844 × 2 - 1) × π
    0.528976440429688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66182850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743492126464844 × 2 - 1) × π
    -0.486984252929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52990615137409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66182850} λ = 1.66182850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52990615137409))-π/2
    2×atan(0.21655598984445)-π/2
    2×0.213262925599729-π/2
    0.426525851199459-1.57079632675     		φ = -1.14427048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66182850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.215759°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14427048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.561869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100203 KachelY 97451 1.66182850 -1.14427048 95.215759 -65.561869
    Oben rechts KachelX + 1 100204 KachelY 97451 1.66187644 -1.14427048 95.218506 -65.561869
    Unten links KachelX 100203 KachelY + 1 97452 1.66182850 -1.14429031 95.215759 -65.563005
    Unten rechts KachelX + 1 100204 KachelY + 1 97452 1.66187644 -1.14429031 95.218506 -65.563005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14427048--1.14429031) × R
    1.98299999998319e-05 × 6371000     		dl = 126.336929998929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14427048--1.14429031) × R
    1.98299999998319e-05 × 6371000     		dr = 126.336929998929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66182850-1.66187644) × cos(-1.14427048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413710406750451 × 6371000     		do = 126.357807127375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66182850-1.66187644) × cos(-1.14429031) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413692353267875 × 6371000     		du = 126.352293129099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14427048)-sin(-1.14429031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413710406750451-0.413692353267875)×R²
    abs(1.66187644-1.66182850)×1.80534825754974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80534825754974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80534825754974e-05×40589641000000     		ar = 15963.3091237188m²