Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100201 / 102062
↖ ↑ ↗
← S 70.302081°
E 95.210266°		 ← 102.93 m → S 70.302081°
E 95.213013°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.303007°
E 95.210266°		 ← 102.92 m →
10 597 m²		 S 70.303007°
E 95.213013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100201 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764476776123047 y=0.778675079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764476776123047 × 217)
    floor (0.764476776123047 × 131072)
    floor (100201.5)     		tx = 100201
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778675079345703 × 217)
    floor (0.778675079345703 × 131072)
    floor (102062.5)     		ty = 102062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100201 / 102062 ti = "17/100201/102062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100201/102062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100201 ÷ 217
    100201 ÷ 131072     		x = 0.764472961425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102062 ÷ 217
    102062 ÷ 131072     		y = 0.778671264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764472961425781 × 2 - 1) × π
    0.528945922851562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66173263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778671264648438 × 2 - 1) × π
    -0.557342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75094319552217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66173263} λ = 1.66173263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75094319552217))-π/2
    2×atan(0.173610117917013)-π/2
    2×0.171896767161228-π/2
    0.343793534322457-1.57079632675     		φ = -1.22700279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66173263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.210266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22700279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.302081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100201 KachelY 102062 1.66173263 -1.22700279 95.210266 -70.302081
    Oben rechts KachelX + 1 100202 KachelY 102062 1.66178056 -1.22700279 95.213013 -70.302081
    Unten links KachelX 100201 KachelY + 1 102063 1.66173263 -1.22701895 95.210266 -70.303007
    Unten rechts KachelX + 1 100202 KachelY + 1 102063 1.66178056 -1.22701895 95.213013 -70.303007
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22700279--1.22701895) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22700279--1.22701895) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66173263-1.66178056) × cos(-1.22700279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337061058484785 × 6371000     		do = 102.925649052926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66173263-1.66178056) × cos(-1.22701895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337045844078897 × 6371000     		du = 102.921003151059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22700279)-sin(-1.22701895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337061058484785-0.337045844078897)×R²
    abs(1.66178056-1.66173263)×1.52144058879755e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52144058879755e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52144058879755e-05×40589641000000     		ar = 10596.5080913727m²