Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10020 / 18342
↖ ↑ ↗
← N 61.840599°
W124.958496°		 ← 288.28 m → N 61.840599°
W124.953003°		 →
↑
288.29 m
↓
↑
288.29 m
↓
N 61.838006°
W124.958496°		 ← 288.30 m →
83 110 m²		 N 61.838006°
W124.953003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152900695800781 y=0.279884338378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152900695800781 × 216)
    floor (0.152900695800781 × 65536)
    floor (10020.5)     		tx = 10020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279884338378906 × 216)
    floor (0.279884338378906 × 65536)
    floor (18342.5)     		ty = 18342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10020 / 18342 ti = "16/10020/18342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10020/18342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10020 ÷ 216
    10020 ÷ 65536     		x = 0.15289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18342 ÷ 216
    18342 ÷ 65536     		y = 0.279876708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.6942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.18093719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.279876708984375 × 2 - 1) × π
    0.44024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.38307542783786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18093719} λ = -2.18093719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38307542783786))-π/2
    2×atan(3.98714496771732)-π/2
    2×1.32505919128182-π/2
    2.65011838256364-1.57079632675     		φ = 1.07932206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18093719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07932206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.840599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10020 KachelY 18342 -2.18093719 1.07932206 -124.958496 61.840599
    Oben rechts KachelX + 1 10021 KachelY 18342 -2.18084131 1.07932206 -124.953003 61.840599
    Unten links KachelX 10020 KachelY + 1 18343 -2.18093719 1.07927681 -124.958496 61.838006
    Unten rechts KachelX + 1 10021 KachelY + 1 18343 -2.18084131 1.07927681 -124.953003 61.838006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07932206-1.07927681) × R
    4.52499999998857e-05 × 6371000     		dl = 288.287749999272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07932206-1.07927681) × R
    4.52499999998857e-05 × 6371000     		dr = 288.287749999272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18093719--2.18084131) × cos(1.07932206) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.471926170291662 × 6371000     		do = 288.276799573205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18093719--2.18084131) × cos(1.07927681) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.471966063931252 × 6371000     		du = 288.301168661991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07932206)-sin(1.07927681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471926170291662-0.471966063931252)×R²
    abs(-2.18084131--2.18093719)×3.98936395898386e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.98936395898386e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.98936395898386e-05×40589641000000     		ar = 83110.1825948004m²