Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10020 / 10300
↖ ↑ ↗
← S 41.967659°
E 40.166016°		 ← 1 816.63 m → S 41.967659°
E 40.187989°		 →
↑
1 816.37 m
↓
↑
1 816.37 m
↓
S 41.983994°
E 40.166016°		 ← 1 816.17 m →
3 299 257 m²		 S 41.983994°
E 40.187989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611602783203125 y=0.628692626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611602783203125 × 214)
    floor (0.611602783203125 × 16384)
    floor (10020.5)     		tx = 10020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628692626953125 × 214)
    floor (0.628692626953125 × 16384)
    floor (10300.5)     		ty = 10300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10020 / 10300 ti = "14/10020/10300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10020/10300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10020 ÷ 214
    10020 ÷ 16384     		x = 0.611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10300 ÷ 214
    10300 ÷ 16384     		y = 0.628662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628662109375 × 2 - 1) × π
    -0.25732421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.808407875192627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70102922} λ = 0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808407875192627))-π/2
    2×atan(0.445566899912052)-π/2
    2×0.419161247176495-π/2
    0.838322494352991-1.57079632675     		φ = -0.73247383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73247383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.967659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10020 KachelY 10300 0.70102922 -0.73247383 40.166016 -41.967659
    Oben rechts KachelX + 1 10021 KachelY 10300 0.70141272 -0.73247383 40.187989 -41.967659
    Unten links KachelX 10020 KachelY + 1 10301 0.70102922 -0.73275893 40.166016 -41.983994
    Unten rechts KachelX + 1 10021 KachelY + 1 10301 0.70141272 -0.73275893 40.187989 -41.983994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73247383--0.73275893) × R
    0.000285100000000038 × 6371000     		dl = 1816.37210000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73247383--0.73275893) × R
    0.000285100000000038 × 6371000     		dr = 1816.37210000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70102922-0.70141272) × cos(-0.73247383) × R
    0.000383499999999981 × 0.743522401747397 × 6371000     		do = 1816.63229845769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70102922-0.70141272) × cos(-0.73275893) × R
    0.000383499999999981 × 0.743331722018585 × 6371000     		du = 1816.1664147759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73247383)-sin(-0.73275893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743522401747397-0.743331722018585)×R²
    abs(0.70141272-0.70102922)×0.00019067972881226×R²
    0.000383499999999981×0.00019067972881226×6371000²
    0.000383499999999981×0.00019067972881226×40589641000000     		ar = 3299257.13616457m²