Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100199 / 99845
↖ ↑ ↗
← S 68.143965°
E 95.204773°		 ← 113.70 m → S 68.143965°
E 95.207520°		 →
↑
113.66 m
↓
↑
113.66 m
↓
S 68.144987°
E 95.204773°		 ← 113.70 m →
12 923 m²		 S 68.144987°
E 95.207520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764461517333984 y=0.761760711669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764461517333984 × 217)
    floor (0.764461517333984 × 131072)
    floor (100199.5)     		tx = 100199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761760711669922 × 217)
    floor (0.761760711669922 × 131072)
    floor (99845.5)     		ty = 99845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100199 / 99845 ti = "17/100199/99845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100199/99845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100199 ÷ 217
    100199 ÷ 131072     		x = 0.764457702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99845 ÷ 217
    99845 ÷ 131072     		y = 0.761756896972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764457702636719 × 2 - 1) × π
    0.528915405273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66163675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761756896972656 × 2 - 1) × π
    -0.523513793945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.64466708906451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66163675} λ = 1.66163675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64466708906451))-π/2
    2×atan(0.193076829483552)-π/2
    2×0.190729889180429-π/2
    0.381459778360858-1.57079632675     		φ = -1.18933655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66163675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.204773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18933655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.143965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100199 KachelY 99845 1.66163675 -1.18933655 95.204773 -68.143965
    Oben rechts KachelX + 1 100200 KachelY 99845 1.66168469 -1.18933655 95.207520 -68.143965
    Unten links KachelX 100199 KachelY + 1 99846 1.66163675 -1.18935439 95.204773 -68.144987
    Unten rechts KachelX + 1 100200 KachelY + 1 99846 1.66168469 -1.18935439 95.207520 -68.144987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18933655--1.18935439) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dl = 113.658640001005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18933655--1.18935439) × R
    1.78400000001577e-05 × 6371000     		dr = 113.658640001005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66163675-1.66168469) × cos(-1.18933655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372275716810671 × 6371000     		do = 113.702586290855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66163675-1.66168469) × cos(-1.18935439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372259159051646 × 6371000     		du = 113.697529125052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18933655)-sin(-1.18935439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372275716810671-0.372259159051646)×R²
    abs(1.66168469-1.66163675)×1.65577590246491e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.65577590246491e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.65577590246491e-05×40589641000000     		ar = 12922.9939273009m²