Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100199 / 101933
↖ ↑ ↗
← S 70.182310°
E 95.204773°		 ← 103.55 m → S 70.182310°
E 95.207520°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.183241°
E 95.204773°		 ← 103.54 m →
10 720 m²		 S 70.183241°
E 95.207520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100199 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101933 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764461517333984 y=0.777690887451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764461517333984 × 217)
    floor (0.764461517333984 × 131072)
    floor (100199.5)     		tx = 100199
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777690887451172 × 217)
    floor (0.777690887451172 × 131072)
    floor (101933.5)     		ty = 101933
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100199 / 101933 ti = "17/100199/101933"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100199/101933.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100199 ÷ 217
    100199 ÷ 131072     		x = 0.764457702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101933 ÷ 217
    101933 ÷ 131072     		y = 0.777687072753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764457702636719 × 2 - 1) × π
    0.528915405273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66163675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777687072753906 × 2 - 1) × π
    -0.555374145507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.74475933547118
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66163675} λ = 1.66163675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74475933547118))-π/2
    2×atan(0.174687024878864)-π/2
    2×0.172941975250543-π/2
    0.345883950501087-1.57079632675     		φ = -1.22491238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66163675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.204773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22491238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.182310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100199 KachelY 101933 1.66163675 -1.22491238 95.204773 -70.182310
    Oben rechts KachelX + 1 100200 KachelY 101933 1.66168469 -1.22491238 95.207520 -70.182310
    Unten links KachelX 100199 KachelY + 1 101934 1.66163675 -1.22492863 95.204773 -70.183241
    Unten rechts KachelX + 1 100200 KachelY + 1 101934 1.66168469 -1.22492863 95.207520 -70.183241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22491238--1.22492863) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22491238--1.22492863) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66163675-1.66168469) × cos(-1.22491238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339028405642551 × 6371000     		do = 103.548001674329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66163675-1.66168469) × cos(-1.22492863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339013117985562 × 6371000     		du = 103.54333243038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22491238)-sin(-1.22492863))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339028405642551-0.339013117985562)×R²
    abs(1.66168469-1.66163675)×1.52876569898264e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52876569898264e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52876569898264e-05×40589641000000     		ar = 10719.9534781184m²