Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100198 / 97450
↖ ↑ ↗
← S 65.560732°
E 95.202026°		 ← 126.36 m → S 65.560732°
E 95.204773°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.561869°
E 95.202026°		 ← 126.36 m →
15 972 m²		 S 65.561869°
E 95.204773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100198 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764453887939453 y=0.743488311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764453887939453 × 217)
    floor (0.764453887939453 × 131072)
    floor (100198.5)     		tx = 100198
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743488311767578 × 217)
    floor (0.743488311767578 × 131072)
    floor (97450.5)     		ty = 97450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100198 / 97450 ti = "17/100198/97450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100198/97450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100198 ÷ 217
    100198 ÷ 131072     		x = 0.764450073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97450 ÷ 217
    97450 ÷ 131072     		y = 0.743484497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764450073242188 × 2 - 1) × π
    0.528900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66158881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743484497070312 × 2 - 1) × π
    -0.486968994140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52985821447447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66158881} λ = 1.66158881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52985821447447))-π/2
    2×atan(0.216566371116019)-π/2
    2×0.213272841813326-π/2
    0.426545683626652-1.57079632675     		φ = -1.14425064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66158881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.202026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14425064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.560732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100198 KachelY 97450 1.66158881 -1.14425064 95.202026 -65.560732
    Oben rechts KachelX + 1 100199 KachelY 97450 1.66163675 -1.14425064 95.204773 -65.560732
    Unten links KachelX 100198 KachelY + 1 97451 1.66158881 -1.14427048 95.202026 -65.561869
    Unten rechts KachelX + 1 100199 KachelY + 1 97451 1.66163675 -1.14427048 95.204773 -65.561869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14425064--1.14427048) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14425064--1.14427048) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66158881-1.66163675) × cos(-1.14425064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413728469174347 × 6371000     		do = 126.363323856559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66158881-1.66163675) × cos(-1.14427048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.413710406750451 × 6371000     		du = 126.357807127375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14425064)-sin(-1.14427048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413728469174347-0.413710406750451)×R²
    abs(1.66163675-1.66158881)×1.80624238960148e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80624238960148e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80624238960148e-05×40589641000000     		ar = 15972.0563494629m²