Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100197 / 97757
↖ ↑ ↗
← S 65.907260°
E 95.199280°		 ← 124.65 m → S 65.907260°
E 95.202026°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.908381°
E 95.199280°		 ← 124.65 m →
15 541 m²		 S 65.908381°
E 95.202026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100197 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764446258544922 y=0.745830535888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764446258544922 × 217)
    floor (0.764446258544922 × 131072)
    floor (100197.5)     		tx = 100197
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745830535888672 × 217)
    floor (0.745830535888672 × 131072)
    floor (97757.5)     		ty = 97757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100197 / 97757 ti = "17/100197/97757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100197/97757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100197 ÷ 217
    100197 ÷ 131072     		x = 0.764442443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97757 ÷ 217
    97757 ÷ 131072     		y = 0.745826721191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764442443847656 × 2 - 1) × π
    0.528884887695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66154088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745826721191406 × 2 - 1) × π
    -0.491653442382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.54457484265783
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66154088} λ = 1.66154088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54457484265783))-π/2
    2×atan(0.213402581612866)-π/2
    2×0.210248819627308-π/2
    0.420497639254615-1.57079632675     		φ = -1.15029869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66154088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.199280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15029869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.907260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100197 KachelY 97757 1.66154088 -1.15029869 95.199280 -65.907260
    Oben rechts KachelX + 1 100198 KachelY 97757 1.66158881 -1.15029869 95.202026 -65.907260
    Unten links KachelX 100197 KachelY + 1 97758 1.66154088 -1.15031826 95.199280 -65.908381
    Unten rechts KachelX + 1 100198 KachelY + 1 97758 1.66158881 -1.15031826 95.202026 -65.908381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15029869--1.15031826) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15029869--1.15031826) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66154088-1.66158881) × cos(-1.15029869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408214789205145 × 6371000     		do = 124.653296707781m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66154088-1.66158881) × cos(-1.15031826) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.408196923949705 × 6371000     		du = 124.647841337114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15029869)-sin(-1.15031826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408214789205145-0.408196923949705)×R²
    abs(1.66158881-1.66154088)×1.78652554402858e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.78652554402858e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.78652554402858e-05×40589641000000     		ar = 15541.4915318254m²