Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100196 / 97755
↖ ↑ ↗
← S 65.905018°
E 95.196533°		 ← 124.69 m → S 65.905018°
E 95.199280°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.906139°
E 95.196533°		 ← 124.68 m →
15 546 m²		 S 65.906139°
E 95.199280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100196 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764438629150391 y=0.745815277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764438629150391 × 217)
    floor (0.764438629150391 × 131072)
    floor (100196.5)     		tx = 100196
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745815277099609 × 217)
    floor (0.745815277099609 × 131072)
    floor (97755.5)     		ty = 97755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100196 / 97755 ti = "17/100196/97755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100196/97755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100196 ÷ 217
    100196 ÷ 131072     		x = 0.764434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97755 ÷ 217
    97755 ÷ 131072     		y = 0.745811462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764434814453125 × 2 - 1) × π
    0.52886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66149294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745811462402344 × 2 - 1) × π
    -0.491622924804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.54447896885859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66149294} λ = 1.66149294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54447896885859))-π/2
    2×atan(0.213423042309939)-π/2
    2×0.210268389035147-π/2
    0.420536778070293-1.57079632675     		φ = -1.15025955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66149294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.196533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15025955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.905018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100196 KachelY 97755 1.66149294 -1.15025955 95.196533 -65.905018
    Oben rechts KachelX + 1 100197 KachelY 97755 1.66154088 -1.15025955 95.199280 -65.905018
    Unten links KachelX 100196 KachelY + 1 97756 1.66149294 -1.15027912 95.196533 -65.906139
    Unten rechts KachelX + 1 100197 KachelY + 1 97756 1.66154088 -1.15027912 95.199280 -65.906139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15025955--1.15027912) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15025955--1.15027912) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66149294-1.66154088) × cos(-1.15025955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408250519246999 × 6371000     		do = 124.690216946317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66149294-1.66154088) × cos(-1.15027912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408232654304245 × 6371000     		du = 124.684760532957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15025955)-sin(-1.15027912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408250519246999-0.408232654304245)×R²
    abs(1.66154088-1.66149294)×1.7864942753465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.7864942753465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.7864942753465e-05×40589641000000     		ar = 15546.0946997729m²