Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100194 / 97458
↖ ↑ ↗
← S 65.569822°
E 95.191040°		 ← 126.29 m → S 65.569822°
E 95.193786°		 →
↑
126.27 m
↓
↑
126.27 m
↓
S 65.570957°
E 95.191040°		 ← 126.29 m →
15 947 m²		 S 65.570957°
E 95.193786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764423370361328 y=0.743549346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764423370361328 × 217)
    floor (0.764423370361328 × 131072)
    floor (100194.5)     		tx = 100194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743549346923828 × 217)
    floor (0.743549346923828 × 131072)
    floor (97458.5)     		ty = 97458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100194 / 97458 ti = "17/100194/97458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100194/97458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100194 ÷ 217
    100194 ÷ 131072     		x = 0.764419555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97458 ÷ 217
    97458 ÷ 131072     		y = 0.743545532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764419555664062 × 2 - 1) × π
    0.528839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66139707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743545532226562 × 2 - 1) × π
    -0.487091064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53024170967143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66139707} λ = 1.66139707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53024170967143))-π/2
    2×atan(0.21648333487589)-π/2
    2×0.213193524220871-π/2
    0.426387048441741-1.57079632675     		φ = -1.14440928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66139707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.191040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14440928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.569822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100194 KachelY 97458 1.66139707 -1.14440928 95.191040 -65.569822
    Oben rechts KachelX + 1 100195 KachelY 97458 1.66144500 -1.14440928 95.193786 -65.569822
    Unten links KachelX 100194 KachelY + 1 97459 1.66139707 -1.14442910 95.191040 -65.570957
    Unten rechts KachelX + 1 100195 KachelY + 1 97459 1.66144500 -1.14442910 95.193786 -65.570957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14440928--1.14442910) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dl = 126.273219999316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14440928--1.14442910) × R
    1.98199999998927e-05 × 6371000     		dr = 126.273219999316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66139707-1.66144500) × cos(-1.14440928) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413584038061138 × 6371000     		do = 126.292861438024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66139707-1.66144500) × cos(-1.14442910) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413565992544804 × 6371000     		du = 126.287351022524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14440928)-sin(-1.14442910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413584038061138-0.413565992544804)×R²
    abs(1.66144500-1.66139707)×1.8045516333498e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.8045516333498e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.8045516333498e-05×40589641000000     		ar = 15947.0583683145m²