Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100193 / 101728
↖ ↑ ↗
← S 69.990535°
E 95.188293°		 ← 104.51 m → S 69.990535°
E 95.191040°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.991475°
E 95.188293°		 ← 104.50 m →
10 919 m²		 S 69.991475°
E 95.191040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764415740966797 y=0.776126861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764415740966797 × 217)
    floor (0.764415740966797 × 131072)
    floor (100193.5)     		tx = 100193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776126861572266 × 217)
    floor (0.776126861572266 × 131072)
    floor (101728.5)     		ty = 101728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100193 / 101728 ti = "17/100193/101728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100193/101728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100193 ÷ 217
    100193 ÷ 131072     		x = 0.764411926269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101728 ÷ 217
    101728 ÷ 131072     		y = 0.776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764411926269531 × 2 - 1) × π
    0.528823852539062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66134913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776123046875 × 2 - 1) × π
    -0.55224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73493227104907
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66134913} λ = 1.66134913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73493227104907))-π/2
    2×atan(0.17641214809145)-π/2
    2×0.174615523268401-π/2
    0.349231046536803-1.57079632675     		φ = -1.22156528
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66134913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.188293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22156528 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.990535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100193 KachelY 101728 1.66134913 -1.22156528 95.188293 -69.990535
    Oben rechts KachelX + 1 100194 KachelY 101728 1.66139707 -1.22156528 95.191040 -69.990535
    Unten links KachelX 100193 KachelY + 1 101729 1.66134913 -1.22158168 95.188293 -69.991475
    Unten rechts KachelX + 1 100194 KachelY + 1 101729 1.66139707 -1.22158168 95.191040 -69.991475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22156528--1.22158168) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dl = 104.484399998761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22156528--1.22158168) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dr = 104.484399998761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66134913-1.66139707) × cos(-1.22156528) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342175372492454 × 6371000     		do = 104.509166353215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66134913-1.66139707) × cos(-1.22158168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342159962414277 × 6371000     		du = 104.504459718684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22156528)-sin(-1.22158168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342175372492454-0.342159962414277)×R²
    abs(1.66139707-1.66134913)×1.5410078177347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5410078177347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5410078177347e-05×40589641000000     		ar = 10919.3316561394m²