Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100192 / 97760
↖ ↑ ↗
← S 65.910623°
E 95.185547°		 ← 124.66 m → S 65.910623°
E 95.188293°		 →
↑
124.62 m
↓
↑
124.62 m
↓
S 65.911744°
E 95.185547°		 ← 124.66 m →
15 535 m²		 S 65.911744°
E 95.188293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764408111572266 y=0.745853424072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764408111572266 × 217)
    floor (0.764408111572266 × 131072)
    floor (100192.5)     		tx = 100192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745853424072266 × 217)
    floor (0.745853424072266 × 131072)
    floor (97760.5)     		ty = 97760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100192 / 97760 ti = "17/100192/97760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100192/97760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100192 ÷ 217
    100192 ÷ 131072     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97760 ÷ 217
    97760 ÷ 131072     		y = 0.745849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745849609375 × 2 - 1) × π
    -0.49169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54471865335669))-π/2
    2×atan(0.213371894245104)-π/2
    2×0.210219468726778-π/2
    0.420438937453557-1.57079632675     		φ = -1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100192 KachelY 97760 1.66130119 -1.15035739 95.185547 -65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 100193 KachelY 97760 1.66134913 -1.15035739 95.188293 -65.910623
    Unten links KachelX 100192 KachelY + 1 97761 1.66130119 -1.15037695 95.185547 -65.911744
    Unten rechts KachelX + 1 100193 KachelY + 1 97761 1.66134913 -1.15037695 95.188293 -65.911744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15035739--1.15037695) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dl = 124.616760000896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15035739--1.15037695) × R
    1.95600000001406e-05 × 6371000     		dr = 124.616760000896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66134913) × cos(-1.15035739) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40816120209893 × 6371000     		do = 124.662937190273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66134913) × cos(-1.15037695) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408143345503768 × 6371000     		du = 124.657483326482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15035739)-sin(-1.15037695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40816120209893-0.408143345503768)×R²
    abs(1.66134913-1.66130119)×1.78565951614029e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78565951614029e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78565951614029e-05×40589641000000     		ar = 15534.7515039078m²