Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100191 / 96799
↖ ↑ ↗
← S 64.810389°
E 95.182801°		 ← 129.97 m → S 64.810389°
E 95.185547°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.811557°
E 95.182801°		 ← 129.96 m →
16 891 m²		 S 64.811557°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764400482177734 y=0.738521575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764400482177734 × 217)
    floor (0.764400482177734 × 131072)
    floor (100191.5)     		tx = 100191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738521575927734 × 217)
    floor (0.738521575927734 × 131072)
    floor (96799.5)     		ty = 96799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100191 / 96799 ti = "17/100191/96799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100191/96799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100191 ÷ 217
    100191 ÷ 131072     		x = 0.764396667480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96799 ÷ 217
    96799 ÷ 131072     		y = 0.738517761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764396667480469 × 2 - 1) × π
    0.528793334960938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66125326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738517761230469 × 2 - 1) × π
    -0.477035522460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.49865129282182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66125326} λ = 1.66125326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49865129282182))-π/2
    2×atan(0.223431300426471)-π/2
    2×0.219820830842026-π/2
    0.439641661684052-1.57079632675     		φ = -1.13115467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66125326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.182801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13115467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.810389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100191 KachelY 96799 1.66125326 -1.13115467 95.182801 -64.810389
    Oben rechts KachelX + 1 100192 KachelY 96799 1.66130119 -1.13115467 95.185547 -64.810389
    Unten links KachelX 100191 KachelY + 1 96800 1.66125326 -1.13117507 95.182801 -64.811557
    Unten rechts KachelX + 1 100192 KachelY + 1 96800 1.66130119 -1.13117507 95.185547 -64.811557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13115467--1.13117507) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dl = 129.968400000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13115467--1.13117507) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dr = 129.968400000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66125326-1.66130119) × cos(-1.13115467) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425615226114706 × 6371000     		do = 129.966729445375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66125326-1.66130119) × cos(-1.13117507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.425596765979697 × 6371000     		du = 129.961092421075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13115467)-sin(-1.13117507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425615226114706-0.425596765979697)×R²
    abs(1.66130119-1.66125326)×1.84601350087243e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.84601350087243e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.84601350087243e-05×40589641000000     		ar = 16891.2015625206m²