Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100190 / 96819
↖ ↑ ↗
← S 64.833758°
E 95.180054°		 ← 129.88 m → S 64.833758°
E 95.182801°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
S 64.834926°
E 95.180054°		 ← 129.88 m →
16 872 m²		 S 64.834926°
E 95.182801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764392852783203 y=0.738674163818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764392852783203 × 217)
    floor (0.764392852783203 × 131072)
    floor (100190.5)     		tx = 100190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738674163818359 × 217)
    floor (0.738674163818359 × 131072)
    floor (96819.5)     		ty = 96819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100190 / 96819 ti = "17/100190/96819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100190/96819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100190 ÷ 217
    100190 ÷ 131072     		x = 0.764389038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96819 ÷ 217
    96819 ÷ 131072     		y = 0.738670349121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764389038085938 × 2 - 1) × π
    0.528778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66120532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738670349121094 × 2 - 1) × π
    -0.477340698242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.49961003081422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66120532} λ = 1.66120532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49961003081422))-π/2
    2×atan(0.22321719100388)-π/2
    2×0.219616892579603-π/2
    0.439233785159207-1.57079632675     		φ = -1.13156254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66120532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.180054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13156254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.833758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100190 KachelY 96819 1.66120532 -1.13156254 95.180054 -64.833758
    Oben rechts KachelX + 1 100191 KachelY 96819 1.66125326 -1.13156254 95.182801 -64.833758
    Unten links KachelX 100190 KachelY + 1 96820 1.66120532 -1.13158293 95.180054 -64.834926
    Unten rechts KachelX + 1 100191 KachelY + 1 96820 1.66125326 -1.13158293 95.182801 -64.834926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13156254--1.13158293) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13156254--1.13158293) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66120532-1.66125326) × cos(-1.13156254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425246107431298 × 6371000     		do = 129.881107044238m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66120532-1.66125326) × cos(-1.13158293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425227652807414 × 6371000     		du = 129.875470527082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13156254)-sin(-1.13158293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425246107431298-0.425227652807414)×R²
    abs(1.66125326-1.66120532)×1.84546238838346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84546238838346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84546238838346e-05×40589641000000     		ar = 16871.7988431291m²