Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10019 / 2358
↖ ↑ ↗
← N 77.814050°
E 40.144043°		 ← 515.74 m → N 77.814050°
E 40.166016°		 →
↑
515.80 m
↓
↑
515.80 m
↓
N 77.809412°
E 40.144043°		 ← 515.93 m →
266 066 m²		 N 77.809412°
E 40.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611541748046875 y=0.143951416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611541748046875 × 214)
    floor (0.611541748046875 × 16384)
    floor (10019.5)     		tx = 10019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143951416015625 × 214)
    floor (0.143951416015625 × 16384)
    floor (2358.5)     		ty = 2358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10019 / 2358 ti = "14/10019/2358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10019/2358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10019 ÷ 214
    10019 ÷ 16384     		x = 0.61151123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2358 ÷ 214
    2358 ÷ 16384     		y = 0.1439208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61151123046875 × 2 - 1) × π
    0.2230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70064572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1439208984375 × 2 - 1) × π
    0.712158203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23731097906726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70064572} λ = 0.70064572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23731097906726))-π/2
    2×atan(9.36810635337034)-π/2
    2×1.46445385546886-π/2
    2.92890771093772-1.57079632675     		φ = 1.35811138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70064572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.144043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35811138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.814050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10019 KachelY 2358 0.70064572 1.35811138 40.144043 77.814050
    Oben rechts KachelX + 1 10020 KachelY 2358 0.70102922 1.35811138 40.166016 77.814050
    Unten links KachelX 10019 KachelY + 1 2359 0.70064572 1.35803042 40.144043 77.809412
    Unten rechts KachelX + 1 10020 KachelY + 1 2359 0.70102922 1.35803042 40.166016 77.809412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35811138-1.35803042) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dl = 515.79616000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35811138-1.35803042) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dr = 515.79616000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(1.35811138) × R
    0.000383499999999981 × 0.211085106273904 × 6371000     		do = 515.739701829218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(1.35803042) × R
    0.000383499999999981 × 0.211164241365925 × 6371000     		du = 515.93305089815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35811138)-sin(1.35803042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211085106273904-0.211164241365925)×R²
    abs(0.70102922-0.70064572)×7.91350920216483e-05×R²
    0.000383499999999981×7.91350920216483e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.91350920216483e-05×40589641000000     		ar = 266066.422260913m²