Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10019 / 10334
↖ ↑ ↗
← S 42.520700°
E 40.144043°		 ← 1 800.78 m → S 42.520700°
E 40.166016°		 →
↑
1 800.51 m
↓
↑
1 800.51 m
↓
S 42.536892°
E 40.144043°		 ← 1 800.31 m →
3 241 895 m²		 S 42.536892°
E 40.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611541748046875 y=0.630767822265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611541748046875 × 214)
    floor (0.611541748046875 × 16384)
    floor (10019.5)     		tx = 10019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630767822265625 × 214)
    floor (0.630767822265625 × 16384)
    floor (10334.5)     		ty = 10334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10019 / 10334 ti = "14/10019/10334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10019/10334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10019 ÷ 214
    10019 ÷ 16384     		x = 0.61151123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10334 ÷ 214
    10334 ÷ 16384     		y = 0.6307373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61151123046875 × 2 - 1) × π
    0.2230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70064572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6307373046875 × 2 - 1) × π
    -0.261474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.821446711889282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70064572} λ = 0.70064572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821446711889282))-π/2
    2×atan(0.439794937479108)-π/2
    2×0.414335059888668-π/2
    0.828670119777337-1.57079632675     		φ = -0.74212621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70064572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.144043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74212621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.520700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10019 KachelY 10334 0.70064572 -0.74212621 40.144043 -42.520700
    Oben rechts KachelX + 1 10020 KachelY 10334 0.70102922 -0.74212621 40.166016 -42.520700
    Unten links KachelX 10019 KachelY + 1 10335 0.70064572 -0.74240882 40.144043 -42.536892
    Unten rechts KachelX + 1 10020 KachelY + 1 10335 0.70102922 -0.74240882 40.166016 -42.536892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74212621--0.74240882) × R
    0.000282609999999961 × 6371000     		dl = 1800.50830999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74212621--0.74240882) × R
    0.000282609999999961 × 6371000     		dr = 1800.50830999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(-0.74212621) × R
    0.000383499999999981 × 0.737033212886984 × 6371000     		do = 1800.7774028326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(-0.74240882) × R
    0.000383499999999981 × 0.73684217964401 × 6371000     		du = 1800.31065541726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74212621)-sin(-0.74240882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.737033212886984-0.73684217964401)×R²
    abs(0.70102922-0.70064572)×0.000191033242973537×R²
    0.000383499999999981×0.000191033242973537×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191033242973537×40589641000000     		ar = 3241894.50853656m²