Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10019 / 10333
↖ ↑ ↗
← S 42.504503°
E 40.144043°		 ← 1 801.24 m → S 42.504503°
E 40.166016°		 →
↑
1 801.02 m
↓
↑
1 801.02 m
↓
S 42.520700°
E 40.144043°		 ← 1 800.78 m →
3 243 653 m²		 S 42.520700°
E 40.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611541748046875 y=0.630706787109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611541748046875 × 214)
    floor (0.611541748046875 × 16384)
    floor (10019.5)     		tx = 10019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630706787109375 × 214)
    floor (0.630706787109375 × 16384)
    floor (10333.5)     		ty = 10333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10019 / 10333 ti = "14/10019/10333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10019/10333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10019 ÷ 214
    10019 ÷ 16384     		x = 0.61151123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10333 ÷ 214
    10333 ÷ 16384     		y = 0.63067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61151123046875 × 2 - 1) × π
    0.2230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70064572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63067626953125 × 2 - 1) × π
    -0.2613525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.821063216692322
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70064572} λ = 0.70064572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.821063216692322))-π/2
    2×atan(0.439963629069419)-π/2
    2×0.414476402552095-π/2
    0.82895280510419-1.57079632675     		φ = -0.74184352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70064572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.144043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74184352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.504503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10019 KachelY 10333 0.70064572 -0.74184352 40.144043 -42.504503
    Oben rechts KachelX + 1 10020 KachelY 10333 0.70102922 -0.74184352 40.166016 -42.504503
    Unten links KachelX 10019 KachelY + 1 10334 0.70064572 -0.74212621 40.144043 -42.520700
    Unten rechts KachelX + 1 10020 KachelY + 1 10334 0.70102922 -0.74212621 40.166016 -42.520700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74184352--0.74212621) × R
    0.00028269000000003 × 6371000     		dl = 1801.01799000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74184352--0.74212621) × R
    0.00028269000000003 × 6371000     		dr = 1801.01799000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(-0.74184352) × R
    0.000383499999999981 × 0.73722424131614 × 6371000     		do = 1801.24413848645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(-0.74212621) × R
    0.000383499999999981 × 0.737033212886984 × 6371000     		du = 1800.7774028326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74184352)-sin(-0.74212621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.73722424131614-0.737033212886984)×R²
    abs(0.70102922-0.70064572)×0.000191028429155526×R²
    0.000383499999999981×0.000191028429155526×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191028429155526×40589641000000     		ar = 3243652.81974249m²