Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10019 / 10277
↖ ↑ ↗
← S 41.590797°
E 40.144043°		 ← 1 827.34 m → S 41.590797°
E 40.166016°		 →
↑
1 827.08 m
↓
↑
1 827.08 m
↓
S 41.607228°
E 40.144043°		 ← 1 826.87 m →
3 338 262 m²		 S 41.607228°
E 40.166016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611541748046875 y=0.627288818359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611541748046875 × 214)
    floor (0.611541748046875 × 16384)
    floor (10019.5)     		tx = 10019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627288818359375 × 214)
    floor (0.627288818359375 × 16384)
    floor (10277.5)     		ty = 10277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10019 / 10277 ti = "14/10019/10277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10019/10277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10019 ÷ 214
    10019 ÷ 16384     		x = 0.61151123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10277 ÷ 214
    10277 ÷ 16384     		y = 0.62725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61151123046875 × 2 - 1) × π
    0.2230224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.70064572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.2545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.799587485662537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70064572} λ = 0.70064572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.799587485662537))-π/2
    2×atan(0.449514356993138)-π/2
    2×0.422449991616486-π/2
    0.844899983232972-1.57079632675     		φ = -0.72589634
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70064572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.144043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72589634 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.590797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10019 KachelY 10277 0.70064572 -0.72589634 40.144043 -41.590797
    Oben rechts KachelX + 1 10020 KachelY 10277 0.70102922 -0.72589634 40.166016 -41.590797
    Unten links KachelX 10019 KachelY + 1 10278 0.70064572 -0.72618312 40.144043 -41.607228
    Unten rechts KachelX + 1 10020 KachelY + 1 10278 0.70102922 -0.72618312 40.166016 -41.607228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72589634--0.72618312) × R
    0.000286779999999931 × 6371000     		dl = 1827.07537999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72589634--0.72618312) × R
    0.000286779999999931 × 6371000     		dr = 1827.07537999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(-0.72589634) × R
    0.000383499999999981 × 0.747904726541378 × 6371000     		do = 1827.33953840684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70064572-0.70102922) × cos(-0.72618312) × R
    0.000383499999999981 × 0.747714329479723 × 6371000     		du = 1826.87434535963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72589634)-sin(-0.72618312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747904726541378-0.747714329479723)×R²
    abs(0.70102922-0.70064572)×0.000190397061655578×R²
    0.000383499999999981×0.000190397061655578×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190397061655578×40589641000000     		ar = 3338262.13302089m²