Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100188 / 97457
↖ ↑ ↗
← S 65.568686°
E 95.174561°		 ← 126.30 m → S 65.568686°
E 95.177307°		 →
↑
126.34 m
↓
↑
126.34 m
↓
S 65.569822°
E 95.174561°		 ← 126.29 m →
15 956 m²		 S 65.569822°
E 95.177307°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764377593994141 y=0.743541717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764377593994141 × 217)
    floor (0.764377593994141 × 131072)
    floor (100188.5)     		tx = 100188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743541717529297 × 217)
    floor (0.743541717529297 × 131072)
    floor (97457.5)     		ty = 97457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100188 / 97457 ti = "17/100188/97457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100188/97457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100188 ÷ 217
    100188 ÷ 131072     		x = 0.764373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97457 ÷ 217
    97457 ÷ 131072     		y = 0.743537902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764373779296875 × 2 - 1) × π
    0.52874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66110945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743537902832031 × 2 - 1) × π
    -0.487075805664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.53019377277181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66110945} λ = 1.66110945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53019377277181))-π/2
    2×atan(0.216493712664521)-π/2
    2×0.213203437405493-π/2
    0.426406874810986-1.57079632675     		φ = -1.14438945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66110945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.174561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14438945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.568686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100188 KachelY 97457 1.66110945 -1.14438945 95.174561 -65.568686
    Oben rechts KachelX + 1 100189 KachelY 97457 1.66115738 -1.14438945 95.177307 -65.568686
    Unten links KachelX 100188 KachelY + 1 97458 1.66110945 -1.14440928 95.174561 -65.569822
    Unten rechts KachelX + 1 100189 KachelY + 1 97458 1.66115738 -1.14440928 95.177307 -65.569822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14438945--1.14440928) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dl = 126.336930000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14438945--1.14440928) × R
    1.9830000000054e-05 × 6371000     		dr = 126.336930000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66110945-1.66115738) × cos(-1.14438945) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.41360209251958 × 6371000     		do = 126.298374583519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66110945-1.66115738) × cos(-1.14440928) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413584038061138 × 6371000     		du = 126.292861437439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14438945)-sin(-1.14440928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41360209251958-0.413584038061138)×R²
    abs(1.66115738-1.66110945)×1.80544584419406e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.80544584419406e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.80544584419406e-05×40589641000000     		ar = 15955.8006524191m²