Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100187 / 96815
↖ ↑ ↗
← S 64.829085°
E 95.171814°		 ← 129.90 m → S 64.829085°
E 95.174561°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
S 64.830254°
E 95.171814°		 ← 129.90 m →
16 875 m²		 S 64.830254°
E 95.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764369964599609 y=0.738643646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764369964599609 × 217)
    floor (0.764369964599609 × 131072)
    floor (100187.5)     		tx = 100187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738643646240234 × 217)
    floor (0.738643646240234 × 131072)
    floor (96815.5)     		ty = 96815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100187 / 96815 ti = "17/100187/96815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100187/96815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100187 ÷ 217
    100187 ÷ 131072     		x = 0.764366149902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96815 ÷ 217
    96815 ÷ 131072     		y = 0.738639831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764366149902344 × 2 - 1) × π
    0.528732299804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66106151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738639831542969 × 2 - 1) × π
    -0.477279663085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.49941828321574
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66106151} λ = 1.66106151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49941828321574))-π/2
    2×atan(0.223259996467985)-π/2
    2×0.219657666077294-π/2
    0.439315332154588-1.57079632675     		φ = -1.13148099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66106151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.171814°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13148099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.829085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100187 KachelY 96815 1.66106151 -1.13148099 95.171814 -64.829085
    Oben rechts KachelX + 1 100188 KachelY 96815 1.66110945 -1.13148099 95.174561 -64.829085
    Unten links KachelX 100187 KachelY + 1 96816 1.66106151 -1.13150138 95.171814 -64.830254
    Unten rechts KachelX + 1 100188 KachelY + 1 96816 1.66110945 -1.13150138 95.174561 -64.830254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13148099--1.13150138) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13148099--1.13150138) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66106151-1.66110945) × cos(-1.13148099) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.425319915108356 × 6371000     		do = 129.903649809223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66106151-1.66110945) × cos(-1.13150138) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.425301461191619 × 6371000     		du = 129.898013508048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13148099)-sin(-1.13150138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425319915108356-0.425301461191619)×R²
    abs(1.66110945-1.66106151)×1.84539167366049e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.84539167366049e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.84539167366049e-05×40589641000000     		ar = 16874.7272677978m²