Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100184 / 101736
↖ ↑ ↗
← S 69.998052°
E 95.163574°		 ← 104.45 m → S 69.998052°
E 95.166321°		 →
↑
104.48 m
↓
↑
104.48 m
↓
S 69.998992°
E 95.163574°		 ← 104.45 m →
10 913 m²		 S 69.998992°
E 95.166321°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764347076416016 y=0.776187896728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764347076416016 × 217)
    floor (0.764347076416016 × 131072)
    floor (100184.5)     		tx = 100184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776187896728516 × 217)
    floor (0.776187896728516 × 131072)
    floor (101736.5)     		ty = 101736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100184 / 101736 ti = "17/100184/101736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100184/101736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100184 ÷ 217
    100184 ÷ 131072     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101736 ÷ 217
    101736 ÷ 131072     		y = 0.77618408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77618408203125 × 2 - 1) × π
    -0.5523681640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73531576624603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73531576624603))-π/2
    2×atan(0.176344507850655)-π/2
    2×0.174549923782665-π/2
    0.349099847565331-1.57079632675     		φ = -1.22169648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22169648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.998052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100184 KachelY 101736 1.66091770 -1.22169648 95.163574 -69.998052
    Oben rechts KachelX + 1 100185 KachelY 101736 1.66096563 -1.22169648 95.166321 -69.998052
    Unten links KachelX 100184 KachelY + 1 101737 1.66091770 -1.22171288 95.163574 -69.998992
    Unten rechts KachelX + 1 100185 KachelY + 1 101737 1.66096563 -1.22171288 95.166321 -69.998992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22169648--1.22171288) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dl = 104.484399998761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22169648--1.22171288) × R
    1.63999999998055e-05 × 6371000     		dr = 104.484399998761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66096563) × cos(-1.22169648) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3420520892905 × 6371000     		do = 104.449720351552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66096563) × cos(-1.22171288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34203667847622 × 6371000     		du = 104.44501447402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22169648)-sin(-1.22171288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3420520892905-0.34203667847622)×R²
    abs(1.66096563-1.66091770)×1.54108142800258e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54108142800258e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54108142800258e-05×40589641000000     		ar = 10913.1205158165m²