Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100181 / 99747
↖ ↑ ↗
← S 68.043542°
E 95.155335°		 ← 114.18 m → S 68.043542°
E 95.158081°		 →
↑
114.17 m
↓
↑
114.17 m
↓
S 68.044569°
E 95.155335°		 ← 114.17 m →
13 035 m²		 S 68.044569°
E 95.158081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764324188232422 y=0.761013031005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764324188232422 × 217)
    floor (0.764324188232422 × 131072)
    floor (100181.5)     		tx = 100181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761013031005859 × 217)
    floor (0.761013031005859 × 131072)
    floor (99747.5)     		ty = 99747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100181 / 99747 ti = "17/100181/99747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100181/99747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100181 ÷ 217
    100181 ÷ 131072     		x = 0.764320373535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99747 ÷ 217
    99747 ÷ 131072     		y = 0.761009216308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764320373535156 × 2 - 1) × π
    0.528640747070312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66077389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761009216308594 × 2 - 1) × π
    -0.522018432617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.63996927290174
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66077389} λ = 1.66077389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63996927290174))-π/2
    2×atan(0.193986002826286)-π/2
    2×0.191606239295832-π/2
    0.383212478591663-1.57079632675     		φ = -1.18758385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66077389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.155335°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18758385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.043542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100181 KachelY 99747 1.66077389 -1.18758385 95.155335 -68.043542
    Oben rechts KachelX + 1 100182 KachelY 99747 1.66082182 -1.18758385 95.158081 -68.043542
    Unten links KachelX 100181 KachelY + 1 99748 1.66077389 -1.18760177 95.155335 -68.044569
    Unten rechts KachelX + 1 100182 KachelY + 1 99748 1.66082182 -1.18760177 95.158081 -68.044569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18758385--1.18760177) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dl = 114.168319999322m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18758385--1.18760177) × R
    1.79199999998936e-05 × 6371000     		dr = 114.168319999322m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66077389-1.66082182) × cos(-1.18758385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373901863924409 × 6371000     		do = 114.175432188811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66077389-1.66082182) × cos(-1.18760177) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.373885243632936 × 6371000     		du = 114.170356982868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18758385)-sin(-1.18760177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373901863924409-0.373885243632936)×R²
    abs(1.66082182-1.66077389)×1.66202914738123e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66202914738123e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66202914738123e-05×40589641000000     		ar = 13034.9275646307m²