Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100180 / 99858
↖ ↑ ↗
← S 68.157253°
E 95.152588°		 ← 113.64 m → S 68.157253°
E 95.155335°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.158275°
E 95.152588°		 ← 113.63 m →
12 908 m²		 S 68.158275°
E 95.155335°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764316558837891 y=0.761859893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764316558837891 × 217)
    floor (0.764316558837891 × 131072)
    floor (100180.5)     		tx = 100180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761859893798828 × 217)
    floor (0.761859893798828 × 131072)
    floor (99858.5)     		ty = 99858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100180 / 99858 ti = "17/100180/99858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100180/99858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100180 ÷ 217
    100180 ÷ 131072     		x = 0.764312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99858 ÷ 217
    99858 ÷ 131072     		y = 0.761856079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764312744140625 × 2 - 1) × π
    0.52862548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66072595
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761856079101562 × 2 - 1) × π
    -0.523712158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64529026875957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66072595} λ = 1.66072595}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64529026875957))-π/2
    2×atan(0.192956545407021)-π/2
    2×0.190613925386378-π/2
    0.381227850772757-1.57079632675     		φ = -1.18956848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66072595} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.152588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18956848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.157253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100180 KachelY 99858 1.66072595 -1.18956848 95.152588 -68.157253
    Oben rechts KachelX + 1 100181 KachelY 99858 1.66077389 -1.18956848 95.155335 -68.157253
    Unten links KachelX 100180 KachelY + 1 99859 1.66072595 -1.18958631 95.152588 -68.158275
    Unten rechts KachelX + 1 100181 KachelY + 1 99859 1.66077389 -1.18958631 95.155335 -68.158275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18956848--1.18958631) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18956848--1.18958631) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66072595-1.66077389) × cos(-1.18956848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372060447421547 × 6371000     		do = 113.636837478382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66072595-1.66077389) × cos(-1.18958631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.372043897404813 × 6371000     		du = 113.631782677275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18956848)-sin(-1.18958631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372060447421547-0.372043897404813)×R²
    abs(1.66077389-1.66072595)×1.6550016733119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6550016733119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6550016733119e-05×40589641000000     		ar = 12908.2814991028m²