Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100177 / 97713
↖ ↑ ↗
← S 65.857880°
E 95.144348°		 ← 124.92 m → S 65.857880°
E 95.147095°		 →
↑
124.94 m
↓
↑
124.94 m
↓
S 65.859003°
E 95.144348°		 ← 124.91 m →
15 607 m²		 S 65.859003°
E 95.147095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100177 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764293670654297 y=0.745494842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764293670654297 × 217)
    floor (0.764293670654297 × 131072)
    floor (100177.5)     		tx = 100177
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745494842529297 × 217)
    floor (0.745494842529297 × 131072)
    floor (97713.5)     		ty = 97713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100177 / 97713 ti = "17/100177/97713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100177/97713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100177 ÷ 217
    100177 ÷ 131072     		x = 0.764289855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97713 ÷ 217
    97713 ÷ 131072     		y = 0.745491027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764289855957031 × 2 - 1) × π
    0.528579711914062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66058214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745491027832031 × 2 - 1) × π
    -0.490982055664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54246561907455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66058214} λ = 1.66058214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54246561907455))-π/2
    2×atan(0.213853170399936)-π/2
    2×0.210679742440222-π/2
    0.421359484880444-1.57079632675     		φ = -1.14943684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66058214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.144348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14943684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.857880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100177 KachelY 97713 1.66058214 -1.14943684 95.144348 -65.857880
    Oben rechts KachelX + 1 100178 KachelY 97713 1.66063008 -1.14943684 95.147095 -65.857880
    Unten links KachelX 100177 KachelY + 1 97714 1.66058214 -1.14945645 95.144348 -65.859003
    Unten rechts KachelX + 1 100178 KachelY + 1 97714 1.66063008 -1.14945645 95.147095 -65.859003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14943684--1.14945645) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dl = 124.935310000374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14943684--1.14945645) × R
    1.96100000000587e-05 × 6371000     		dr = 124.935310000374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66058214-1.66063008) × cos(-1.14943684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.409001408221856 × 6371000     		do = 124.91955776712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66058214-1.66063008) × cos(-1.14945645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408983513356344 × 6371000     		du = 124.914092214579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14943684)-sin(-1.14945645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409001408221856-0.408983513356344)×R²
    abs(1.66063008-1.66058214)×1.78948655117916e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78948655117916e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78948655117916e-05×40589641000000     		ar = 15606.5222551044m²