Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100174 / 102085
↖ ↑ ↗
← S 70.323363°
E 95.136108°		 ← 102.84 m → S 70.323363°
E 95.138855°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.324288°
E 95.136108°		 ← 102.84 m →
10 575 m²		 S 70.324288°
E 95.138855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764270782470703 y=0.778850555419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764270782470703 × 217)
    floor (0.764270782470703 × 131072)
    floor (100174.5)     		tx = 100174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778850555419922 × 217)
    floor (0.778850555419922 × 131072)
    floor (102085.5)     		ty = 102085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100174 / 102085 ti = "17/100174/102085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100174/102085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100174 ÷ 217
    100174 ÷ 131072     		x = 0.764266967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102085 ÷ 217
    102085 ÷ 131072     		y = 0.778846740722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764266967773438 × 2 - 1) × π
    0.528533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66043833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778846740722656 × 2 - 1) × π
    -0.557693481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.75204574421343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66043833} λ = 1.66043833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75204574421343))-π/2
    2×atan(0.173418809791355)-π/2
    2×0.171711050458819-π/2
    0.343422100917638-1.57079632675     		φ = -1.22737423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66043833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.136108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22737423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.323363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100174 KachelY 102085 1.66043833 -1.22737423 95.136108 -70.323363
    Oben rechts KachelX + 1 100175 KachelY 102085 1.66048627 -1.22737423 95.138855 -70.323363
    Unten links KachelX 100174 KachelY + 1 102086 1.66043833 -1.22739037 95.136108 -70.324288
    Unten rechts KachelX + 1 100175 KachelY + 1 102086 1.66048627 -1.22739037 95.138855 -70.324288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22737423--1.22739037) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22737423--1.22739037) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66043833-1.66048627) × cos(-1.22737423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336711330873744 × 6371000     		do = 102.840307398431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66043833-1.66048627) × cos(-1.22739037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336696133278019 × 6371000     		du = 102.83566566151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22737423)-sin(-1.22739037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336711330873744-0.336696133278019)×R²
    abs(1.66048627-1.66043833)×1.51975957246586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51975957246586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51975957246586e-05×40589641000000     		ar = 10574.6183089259m²