Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100172 / 97399
↖ ↑ ↗
← S 65.502715°
E 95.130616°		 ← 126.62 m → S 65.502715°
E 95.133362°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.503854°
E 95.130616°		 ← 126.61 m →
16 037 m²		 S 65.503854°
E 95.133362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764255523681641 y=0.743099212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764255523681641 × 217)
    floor (0.764255523681641 × 131072)
    floor (100172.5)     		tx = 100172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743099212646484 × 217)
    floor (0.743099212646484 × 131072)
    floor (97399.5)     		ty = 97399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100172 / 97399 ti = "17/100172/97399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100172/97399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100172 ÷ 217
    100172 ÷ 131072     		x = 0.764251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97399 ÷ 217
    97399 ÷ 131072     		y = 0.743095397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764251708984375 × 2 - 1) × π
    0.52850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66034246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743095397949219 × 2 - 1) × π
    -0.486190795898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52741343259385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66034246} λ = 1.66034246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52741343259385))-π/2
    2×atan(0.217096476387922)-π/2
    2×0.213779142891682-π/2
    0.427558285783364-1.57079632675     		φ = -1.14323804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66034246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.130616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14323804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.502715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100172 KachelY 97399 1.66034246 -1.14323804 95.130616 -65.502715
    Oben rechts KachelX + 1 100173 KachelY 97399 1.66039039 -1.14323804 95.133362 -65.502715
    Unten links KachelX 100172 KachelY + 1 97400 1.66034246 -1.14325792 95.130616 -65.503854
    Unten rechts KachelX + 1 100173 KachelY + 1 97400 1.66039039 -1.14325792 95.133362 -65.503854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14323804--1.14325792) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14323804--1.14325792) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66034246-1.66039039) × cos(-1.14323804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414650128276995 × 6371000     		do = 126.618404910501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66034246-1.66039039) × cos(-1.14325792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414632037774409 × 6371000     		du = 126.612880757908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14323804)-sin(-1.14325792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414650128276995-0.414632037774409)×R²
    abs(1.66039039-1.66034246)×1.80905025864431e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80905025864431e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80905025864431e-05×40589641000000     		ar = 16036.5650191498m²