Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100169 / 96825
↖ ↑ ↗
← S 64.840765°
E 95.122375°		 ← 129.85 m → S 64.840765°
E 95.125122°		 →
↑
129.78 m
↓
↑
129.78 m
↓
S 64.841932°
E 95.122375°		 ← 129.84 m →
16 851 m²		 S 64.841932°
E 95.125122°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764232635498047 y=0.738719940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764232635498047 × 217)
    floor (0.764232635498047 × 131072)
    floor (100169.5)     		tx = 100169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738719940185547 × 217)
    floor (0.738719940185547 × 131072)
    floor (96825.5)     		ty = 96825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100169 / 96825 ti = "17/100169/96825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100169/96825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100169 ÷ 217
    100169 ÷ 131072     		x = 0.764228820800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96825 ÷ 217
    96825 ÷ 131072     		y = 0.738716125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764228820800781 × 2 - 1) × π
    0.528457641601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66019864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738716125488281 × 2 - 1) × π
    -0.477432250976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.49989765221194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66019864} λ = 1.66019864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49989765221194))-π/2
    2×atan(0.223152998195463)-π/2
    2×0.219555745599299-π/2
    0.439111491198599-1.57079632675     		φ = -1.13168484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66019864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.122375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13168484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.840765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100169 KachelY 96825 1.66019864 -1.13168484 95.122375 -64.840765
    Oben rechts KachelX + 1 100170 KachelY 96825 1.66024658 -1.13168484 95.125122 -64.840765
    Unten links KachelX 100169 KachelY + 1 96826 1.66019864 -1.13170521 95.122375 -64.841932
    Unten rechts KachelX + 1 100170 KachelY + 1 96826 1.66024658 -1.13170521 95.125122 -64.841932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13168484--1.13170521) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dl = 129.777270000655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13168484--1.13170521) × R
    2.03700000001028e-05 × 6371000     		dr = 129.777270000655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66019864-1.66024658) × cos(-1.13168484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4251354132415 × 6371000     		do = 129.847298189406m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66019864-1.66024658) × cos(-1.13170521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42511697566011 × 6371000     		du = 129.841666877466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13168484)-sin(-1.13170521))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4251354132415-0.42511697566011)×R²
    abs(1.66024658-1.66019864)×1.84375813893634e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84375813893634e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84375813893634e-05×40589641000000     		ar = 16850.8624683915m²