Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100168 / 101918
↖ ↑ ↗
← S 70.168337°
E 95.119629°		 ← 103.60 m → S 70.168337°
E 95.122375°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.169269°
E 95.119629°		 ← 103.59 m →
10 738 m²		 S 70.169269°
E 95.122375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764225006103516 y=0.777576446533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764225006103516 × 217)
    floor (0.764225006103516 × 131072)
    floor (100168.5)     		tx = 100168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777576446533203 × 217)
    floor (0.777576446533203 × 131072)
    floor (101918.5)     		ty = 101918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100168 / 101918 ti = "17/100168/101918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100168/101918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100168 ÷ 217
    100168 ÷ 131072     		x = 0.76422119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101918 ÷ 217
    101918 ÷ 131072     		y = 0.777572631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76422119140625 × 2 - 1) × π
    0.5284423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66015071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777572631835938 × 2 - 1) × π
    -0.555145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74404028197688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66015071} λ = 1.66015071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74404028197688))-π/2
    2×atan(0.174812679365247)-π/2
    2×0.173063906267049-π/2
    0.346127812534099-1.57079632675     		φ = -1.22466851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66015071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.119629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22466851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.168337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100168 KachelY 101918 1.66015071 -1.22466851 95.119629 -70.168337
    Oben rechts KachelX + 1 100169 KachelY 101918 1.66019864 -1.22466851 95.122375 -70.168337
    Unten links KachelX 100168 KachelY + 1 101919 1.66015071 -1.22468478 95.119629 -70.169269
    Unten rechts KachelX + 1 100169 KachelY + 1 101919 1.66019864 -1.22468478 95.122375 -70.169269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22466851--1.22468478) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22466851--1.22468478) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66015071-1.66019864) × cos(-1.22466851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339257822635389 × 6371000     		do = 103.596457413386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66015071-1.66019864) × cos(-1.22468478) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339242517508376 × 6371000     		du = 103.591783808732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22466851)-sin(-1.22468478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339257822635389-0.339242517508376)×R²
    abs(1.66019864-1.66015071)×1.53051270129212e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53051270129212e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53051270129212e-05×40589641000000     		ar = 10738.1697772728m²