Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100167 / 102055
↖ ↑ ↗
← S 70.295600°
E 95.116882°		 ← 102.98 m → S 70.295600°
E 95.119629°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.296526°
E 95.116882°		 ← 102.98 m →
10 602 m²		 S 70.296526°
E 95.119629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764217376708984 y=0.778621673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764217376708984 × 217)
    floor (0.764217376708984 × 131072)
    floor (100167.5)     		tx = 100167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778621673583984 × 217)
    floor (0.778621673583984 × 131072)
    floor (102055.5)     		ty = 102055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100167 / 102055 ti = "17/100167/102055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100167/102055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100167 ÷ 217
    100167 ÷ 131072     		x = 0.764213562011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102055 ÷ 217
    102055 ÷ 131072     		y = 0.778617858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764213562011719 × 2 - 1) × π
    0.528427124023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66010277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778617858886719 × 2 - 1) × π
    -0.557235717773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75060763722483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66010277} λ = 1.66010277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75060763722483))-π/2
    2×atan(0.17366838400787)-π/2
    2×0.171953327912092-π/2
    0.343906655824185-1.57079632675     		φ = -1.22688967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66010277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.116882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22688967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.295600°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100167 KachelY 102055 1.66010277 -1.22688967 95.116882 -70.295600
    Oben rechts KachelX + 1 100168 KachelY 102055 1.66015071 -1.22688967 95.119629 -70.295600
    Unten links KachelX 100167 KachelY + 1 102056 1.66010277 -1.22690583 95.116882 -70.296526
    Unten rechts KachelX + 1 100168 KachelY + 1 102056 1.66015071 -1.22690583 95.119629 -70.296526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22688967--1.22690583) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22688967--1.22690583) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66010277-1.66015071) × cos(-1.22688967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337167556861163 × 6371000     		do = 102.979650558245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66010277-1.66015071) × cos(-1.22690583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337152343071512 × 6371000     		du = 102.975003875283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22688967)-sin(-1.22690583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337167556861163-0.337152343071512)×R²
    abs(1.66015071-1.66010277)×1.521378965047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.521378965047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.521378965047e-05×40589641000000     		ar = 10602.0677956438m²