Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100165 / 102073
↖ ↑ ↗
← S 70.312262°
E 95.111389°		 ← 102.87 m → S 70.312262°
E 95.114136°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
S 70.313188°
E 95.111389°		 ← 102.87 m →
10 585 m²		 S 70.313188°
E 95.114136°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764202117919922 y=0.778759002685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764202117919922 × 217)
    floor (0.764202117919922 × 131072)
    floor (100165.5)     		tx = 100165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778759002685547 × 217)
    floor (0.778759002685547 × 131072)
    floor (102073.5)     		ty = 102073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100165 / 102073 ti = "17/100165/102073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100165/102073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100165 ÷ 217
    100165 ÷ 131072     		x = 0.764198303222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102073 ÷ 217
    102073 ÷ 131072     		y = 0.778755187988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764198303222656 × 2 - 1) × π
    0.528396606445312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66000690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778755187988281 × 2 - 1) × π
    -0.557510375976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.75147050141799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66000690} λ = 1.66000690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75147050141799))-π/2
    2×atan(0.173518596410297)-π/2
    2×0.171807922075985-π/2
    0.34361584415197-1.57079632675     		φ = -1.22718048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66000690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.111389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22718048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.312262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100165 KachelY 102073 1.66000690 -1.22718048 95.111389 -70.312262
    Oben rechts KachelX + 1 100166 KachelY 102073 1.66005483 -1.22718048 95.114136 -70.312262
    Unten links KachelX 100165 KachelY + 1 102074 1.66000690 -1.22719663 95.111389 -70.313188
    Unten rechts KachelX + 1 100166 KachelY + 1 102074 1.66005483 -1.22719663 95.114136 -70.313188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22718048--1.22719663) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22718048--1.22719663) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66000690-1.66005483) × cos(-1.22718048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336893761087668 × 6371000     		do = 102.874562780128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66000690-1.66005483) × cos(-1.22719663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336878555129662 × 6371000     		du = 102.869919457923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22718048)-sin(-1.22719663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336893761087668-0.336878555129662)×R²
    abs(1.66005483-1.66000690)×1.52059580057484e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52059580057484e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52059580057484e-05×40589641000000     		ar = 10584.6946281893m²