Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100163 / 101925
↖ ↑ ↗
← S 70.174859°
E 95.105896°		 ← 103.59 m → S 70.174859°
E 95.108643°		 →
↑
103.53 m
↓
↑
103.53 m
↓
S 70.175790°
E 95.105896°		 ← 103.58 m →
10 724 m²		 S 70.175790°
E 95.108643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764186859130859 y=0.777629852294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764186859130859 × 217)
    floor (0.764186859130859 × 131072)
    floor (100163.5)     		tx = 100163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777629852294922 × 217)
    floor (0.777629852294922 × 131072)
    floor (101925.5)     		ty = 101925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100163 / 101925 ti = "17/100163/101925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100163/101925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100163 ÷ 217
    100163 ÷ 131072     		x = 0.764183044433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101925 ÷ 217
    101925 ÷ 131072     		y = 0.777626037597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764183044433594 × 2 - 1) × π
    0.528366088867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.65991102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777626037597656 × 2 - 1) × π
    -0.555252075195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74437584027422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65991102} λ = 1.65991102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74437584027422))-π/2
    2×atan(0.174754029361004)-π/2
    2×0.173006994861911-π/2
    0.346013989723823-1.57079632675     		φ = -1.22478234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65991102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.105896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22478234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.174859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100163 KachelY 101925 1.65991102 -1.22478234 95.105896 -70.174859
    Oben rechts KachelX + 1 100164 KachelY 101925 1.65995896 -1.22478234 95.108643 -70.174859
    Unten links KachelX 100163 KachelY + 1 101926 1.65991102 -1.22479859 95.105896 -70.175790
    Unten rechts KachelX + 1 100164 KachelY + 1 101926 1.65995896 -1.22479859 95.108643 -70.175790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22478234--1.22479859) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dl = 103.528750000325m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22478234--1.22479859) × R
    1.62500000000509e-05 × 6371000     		dr = 103.528750000325m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65991102-1.65995896) × cos(-1.22478234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339150741304524 × 6371000     		do = 103.585366134415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65991102-1.65995896) × cos(-1.22479859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339135454364065 × 6371000     		du = 103.580697109313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22478234)-sin(-1.22479859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339150741304524-0.339135454364065)×R²
    abs(1.65995896-1.65991102)×1.52869404588807e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52869404588807e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52869404588807e-05×40589641000000     		ar = 10723.8217851228m²