Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10016 / 14242
↖ ↑ ↗
← N 70.783294°
W124.980469°		 ← 201.04 m → N 70.783294°
W124.974976°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 70.781486°
W124.980469°		 ← 201.05 m →
40 424 m²		 N 70.781486°
W124.974976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152839660644531 y=0.217323303222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152839660644531 × 216)
    floor (0.152839660644531 × 65536)
    floor (10016.5)     		tx = 10016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217323303222656 × 216)
    floor (0.217323303222656 × 65536)
    floor (14242.5)     		ty = 14242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10016 / 14242 ti = "16/10016/14242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10016/14242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10016 ÷ 216
    10016 ÷ 65536     		x = 0.15283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14242 ÷ 216
    14242 ÷ 65536     		y = 0.217315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15283203125 × 2 - 1) × π
    -0.6943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.18132068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217315673828125 × 2 - 1) × π
    0.56536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77615800472232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18132068} λ = -2.18132068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77615800472232))-π/2
    2×atan(5.90711764732994)-π/2
    2×1.40309893217344-π/2
    2.80619786434688-1.57079632675     		φ = 1.23540154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18132068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23540154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.783294°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10016 KachelY 14242 -2.18132068 1.23540154 -124.980469 70.783294
    Oben rechts KachelX + 1 10017 KachelY 14242 -2.18122481 1.23540154 -124.974976 70.783294
    Unten links KachelX 10016 KachelY + 1 14243 -2.18132068 1.23536998 -124.980469 70.781486
    Unten rechts KachelX + 1 10017 KachelY + 1 14243 -2.18122481 1.23536998 -124.974976 70.781486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23540154-1.23536998) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23540154-1.23536998) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18132068--2.18122481) × cos(1.23540154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329141984963001 × 6371000     		do = 201.03589900892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18132068--2.18122481) × cos(1.23536998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.329171786289837 × 6371000     		du = 201.054101294882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23540154)-sin(1.23536998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329141984963001-0.329171786289837)×R²
    abs(-2.18122481--2.18132068)×2.98013268362762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.98013268362762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.98013268362762e-05×40589641000000     		ar = 40423.8688882551m²