Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10016 / 10470
↖ ↑ ↗
← S 44.684277°
E 40.078125°		 ← 1 737.11 m → S 44.684277°
E 40.100097°		 →
↑
1 736.93 m
↓
↑
1 736.93 m
↓
S 44.699898°
E 40.078125°		 ← 1 736.64 m →
3 016 820 m²		 S 44.699898°
E 40.100097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611358642578125 y=0.639068603515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611358642578125 × 214)
    floor (0.611358642578125 × 16384)
    floor (10016.5)     		tx = 10016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639068603515625 × 214)
    floor (0.639068603515625 × 16384)
    floor (10470.5)     		ty = 10470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10016 / 10470 ti = "14/10016/10470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10016/10470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10016 ÷ 214
    10016 ÷ 16384     		x = 0.611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10470 ÷ 214
    10470 ÷ 16384     		y = 0.6390380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611328125 × 2 - 1) × π
    0.22265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69949524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6390380859375 × 2 - 1) × π
    -0.278076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.873602058675903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69949524} λ = 0.69949524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873602058675903))-π/2
    2×atan(0.41744517583634)-π/2
    2×0.395454281400064-π/2
    0.790908562800128-1.57079632675     		φ = -0.77988776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69949524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.078125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77988776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.684277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10016 KachelY 10470 0.69949524 -0.77988776 40.078125 -44.684277
    Oben rechts KachelX + 1 10017 KachelY 10470 0.69987873 -0.77988776 40.100097 -44.684277
    Unten links KachelX 10016 KachelY + 1 10471 0.69949524 -0.78016039 40.078125 -44.699898
    Unten rechts KachelX + 1 10017 KachelY + 1 10471 0.69987873 -0.78016039 40.100097 -44.699898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77988776--0.78016039) × R
    0.000272629999999996 × 6371000     		dl = 1736.92572999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77988776--0.78016039) × R
    0.000272629999999996 × 6371000     		dr = 1736.92572999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69949524-0.69987873) × cos(-0.77988776) × R
    0.000383490000000042 × 0.710992469616143 × 6371000     		do = 1737.10731734498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69949524-0.69987873) × cos(-0.78016039) × R
    0.000383490000000042 × 0.710800729882607 × 6371000     		du = 1736.63885599217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77988776)-sin(-0.78016039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710992469616143-0.710800729882607)×R²
    abs(0.69987873-0.69949524)×0.000191739733536034×R²
    0.000383490000000042×0.000191739733536034×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191739733536034×40589641000000     		ar = 3016819.57266379m²