Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100157 / 101949
↖ ↑ ↗
← S 70.197203°
E 95.089416°		 ← 103.47 m → S 70.197203°
E 95.092163°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.198133°
E 95.089416°		 ← 103.47 m →
10 706 m²		 S 70.198133°
E 95.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764141082763672 y=0.777812957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764141082763672 × 217)
    floor (0.764141082763672 × 131072)
    floor (100157.5)     		tx = 100157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777812957763672 × 217)
    floor (0.777812957763672 × 131072)
    floor (101949.5)     		ty = 101949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100157 / 101949 ti = "17/100157/101949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100157/101949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100157 ÷ 217
    100157 ÷ 131072     		x = 0.764137268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101949 ÷ 217
    101949 ÷ 131072     		y = 0.777809143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764137268066406 × 2 - 1) × π
    0.528274536132812 × 3.1415926535     		Λ = 1.65962340
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777809143066406 × 2 - 1) × π
    -0.555618286132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.7455263258651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65962340} λ = 1.65962340}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7455263258651))-π/2
    2×atan(0.174553092977646)-π/2
    2×0.172812006381688-π/2
    0.345624012763376-1.57079632675     		φ = -1.22517231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65962340} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.089416°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22517231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.197203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100157 KachelY 101949 1.65962340 -1.22517231 95.089416 -70.197203
    Oben rechts KachelX + 1 100158 KachelY 101949 1.65967134 -1.22517231 95.092163 -70.197203
    Unten links KachelX 100157 KachelY + 1 101950 1.65962340 -1.22518855 95.089416 -70.198133
    Unten rechts KachelX + 1 100158 KachelY + 1 101950 1.65967134 -1.22518855 95.092163 -70.198133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22517231--1.22518855) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22517231--1.22518855) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65962340-1.65967134) × cos(-1.22517231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338783858250994 × 6371000     		do = 103.473310606297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65962340-1.65967134) × cos(-1.22518855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338768578571241 × 6371000     		du = 103.468643798801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22517231)-sin(-1.22518855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338783858250994-0.338768578571241)×R²
    abs(1.65967134-1.65962340)×1.52796797530108e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52796797530108e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52796797530108e-05×40589641000000     		ar = 10705.6287952252m²