Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100155 / 101948
↖ ↑ ↗
← S 70.196272°
E 95.083923°		 ← 103.46 m → S 70.196272°
E 95.086670°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.197203°
E 95.083923°		 ← 103.45 m →
10 704 m²		 S 70.197203°
E 95.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764125823974609 y=0.777805328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764125823974609 × 217)
    floor (0.764125823974609 × 131072)
    floor (100155.5)     		tx = 100155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777805328369141 × 217)
    floor (0.777805328369141 × 131072)
    floor (101948.5)     		ty = 101948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100155 / 101948 ti = "17/100155/101948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100155/101948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100155 ÷ 217
    100155 ÷ 131072     		x = 0.764122009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101948 ÷ 217
    101948 ÷ 131072     		y = 0.777801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764122009277344 × 2 - 1) × π
    0.528244018554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.65952753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.55560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74547838896548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65952753} λ = 1.65952753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74547838896548))-π/2
    2×atan(0.174561460712303)-π/2
    2×0.17282012668862-π/2
    0.345640253377239-1.57079632675     		φ = -1.22515607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65952753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.083923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22515607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.196272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100155 KachelY 101948 1.65952753 -1.22515607 95.083923 -70.196272
    Oben rechts KachelX + 1 100156 KachelY 101948 1.65957546 -1.22515607 95.086670 -70.196272
    Unten links KachelX 100155 KachelY + 1 101949 1.65952753 -1.22517231 95.083923 -70.197203
    Unten rechts KachelX + 1 100156 KachelY + 1 101949 1.65957546 -1.22517231 95.086670 -70.197203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22515607--1.22517231) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22515607--1.22517231) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65952753-1.65957546) × cos(-1.22515607) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.338799137841397 × 6371000     		do = 103.456392493083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65952753-1.65957546) × cos(-1.22517231) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.338783858250994 × 6371000     		du = 103.45172668634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22515607)-sin(-1.22517231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338799137841397-0.338783858250994)×R²
    abs(1.65957546-1.65952753)×1.527959040315e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.527959040315e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.527959040315e-05×40589641000000     		ar = 10703.8784139748m²