Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100154 / 101694
↖ ↑ ↗
← S 69.958557°
E 95.081177°		 ← 104.67 m → S 69.958557°
E 95.083923°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.959498°
E 95.081177°		 ← 104.66 m →
10 949 m²		 S 69.959498°
E 95.083923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764118194580078 y=0.775867462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764118194580078 × 217)
    floor (0.764118194580078 × 131072)
    floor (100154.5)     		tx = 100154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775867462158203 × 217)
    floor (0.775867462158203 × 131072)
    floor (101694.5)     		ty = 101694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100154 / 101694 ti = "17/100154/101694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100154/101694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100154 ÷ 217
    100154 ÷ 131072     		x = 0.764114379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101694 ÷ 217
    101694 ÷ 131072     		y = 0.775863647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764114379882812 × 2 - 1) × π
    0.528228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65947959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775863647460938 × 2 - 1) × π
    -0.551727294921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73330241646199
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65947959} λ = 1.65947959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73330241646199))-π/2
    2×atan(0.176699908680491)-π/2
    2×0.174894584936729-π/2
    0.349789169873457-1.57079632675     		φ = -1.22100716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65947959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.081177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22100716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.958557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100154 KachelY 101694 1.65947959 -1.22100716 95.081177 -69.958557
    Oben rechts KachelX + 1 100155 KachelY 101694 1.65952753 -1.22100716 95.083923 -69.958557
    Unten links KachelX 100154 KachelY + 1 101695 1.65947959 -1.22102358 95.081177 -69.959498
    Unten rechts KachelX + 1 100155 KachelY + 1 101695 1.65952753 -1.22102358 95.083923 -69.959498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22100716--1.22102358) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22100716--1.22102358) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65947959-1.65952753) × cos(-1.22100716) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.342699748876069 × 6371000     		do = 104.669324398704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65947959-1.65952753) × cos(-1.22102358) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.342684323143197 × 6371000     		du = 104.664612982826m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22100716)-sin(-1.22102358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342699748876069-0.342684323143197)×R²
    abs(1.65952753-1.65947959)×1.54257328715546e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.54257328715546e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.54257328715546e-05×40589641000000     		ar = 10949.4020887981m²